6.2 Математические модели задачи размещения

6.2.1 Модель квадратичного назначения

Даны элементы х₁, х₂,…, х_n и для каждой пары элементов заданы весовые коэффициенты r_ij (j,i=1, 2,…, n), определяющие «степень связности» элементов друг с другом. Схема задана матрицей соединений R=||r_ij||_nxn. На коммутационном поле имеется набор фиксированных позиций l₁, l₂,…, l_m (mn) для размещения элементов. Будем считать m=n. Расстояние d_ij между парами позиций определяется по ортогональной метрике (при проведении соединений по каналам параллельным координатным осям).

d_ij = x_i –x_j ₊ y_i –y_j

Можно задать матрицу расстояний D=||d_ij||_nxn. Элемент d_ij равен расстоянию между центрами позиций l_i, и l_j. Расстояние между позициями по вертикали и горизонтали принимается за 1.

y	l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 l10 l11 l12
l1 l2 l3 l4 l1	0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5
l2	1 0 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4
l3	2 1 0 1 3 3 1 2 4 3 2 3
l5 l6 l7 l8 l4	3 2 1 0 4 3 2 1 5 4 3 2
l5	1 2 3 4 0 1 2 3 1 2 3 4
l6	2 1 2 3 1 0 1 2 2 1 2 3
l9 l9 l10 l11 l12 D = l7	3 2 1 2 2 1 0 1 3 2 1 2
x l8	4 3 2 1 3 2 1 0 4 3 2 1
l9	2 3 4 5 1 2 3 4 0 1 2 3
Рис.6.2.1 Фиксированный набор позиций l10	3 2 3 4 2 1 2 3 1 0 1 2
l11	4 3 2 3 3 2 1 2 2 1 0 1
l12	5 4 3 2 4 3 2 1 3 2 1 0

Произвольное размещение элементов в позиции имеет n! вариантов. Для ЭВМ с быстродействием порядка 100000 оп/с общее время перебора всех вариантов составляет тысячи часов.

Рассмотрим задачу минимизации суммарной взвешенной длины (МСВД) соединений.

Предположим:

 соединения исходят из геометрических центров элементов и их позиций (центры совпадают);

 некоторые элементы закреплены в позициях;

 учитываются соединения элементов с внешними выводами (внешние выводы – условный элемент х₀).

Рассмотрим упрощенно коммутационное поле.

x_j

r_ij

x_i

r_is

x_s

p_(i)

r_i0

x₀

Рис.6.2.2 Коммутационное поле

Длина соединений между элементами x_i, и x_j выражается величиной r_ij d_p(i)p(j).

L_s - множество всех фиксированных элементов, включая х₀.

Тогда суммарная взвешенная длина соединений элемента x_i с элементами из L_s оценивается по формуле

a_ip(i) = ∑ r_is d_p(i)s, где

sL_s

d_p(i)s - расстояние между, находящимся в позиции p(i), и элементом х_s.

Выражение для суммарной взвешенной длины соединений при произвольном размещении:

n n n

F_(p)= 1/2 ∑ ∑ r_ij d_p(i)p(j) +∑ a_ip(i).

i=1 j=1 i=1

Т.о. задача размещения по критерию МСВД (минимизации суммарной взвешенной длины) соединений заключается в минимизации функционала F_(p). Этот вариант математической модели – задача квадратичного назначения. Для решения задачи квадратичного назначения используют алгоритмы (алгоритмы последовательного размещения по связности, метод обратного размещения, непрерывные модели и механические аналоги и т.д.), основанные на методе ветвей и границ.