3. Закріплення вивченого матеріалу. Розв’язування задач і вправ.

Задача 1. Скільки існує трикутників, вершини яких є вершинами даного опуклого восьмикутника?

Розв’язання:

Оскільки порядок точок неістотний, то це кількість комбінацій з восьми по три, тобто

Задача 2. Скільки існує таких семицифрових чисел, що не кратні 5, що складаються з цифр 0,1,2,3,4,5,6 і кожна цифра в запису числа зустрічається один раз? Може зустрічатись кілька разів?

Розв’язання:

Щоб число не було кратним 5, вони не повинно закінчуватись на 0 чи 5, тобто вибір числа одиниць має 5 варіантів. На першу позицію (одиниці мільйонів) претендують всі цифри, крім нуля та цифри, яка використана на останню позицію, тобто є 5 претендентів. На решту 5 місць залишаються ще 5 чисел, включаючи і нуль. Оскільки порядок враховується, ми маємо справу з перестановками з п’яти елементів. Використовуючи правило добутку, маємо різних чисел.

б) Для другої умови, коли цифри можуть повторюватись, умова вибору одиниць (щоб число не було кратним 5, воно не повинно закінчуватись на 0 чи 5, тобто вибір числа одиниць має 5 варіантів) залишається попередньою. На позицію мільйонів претендують усі цифри, крім нуля, тобто є 6 претендентів. На решту 5 місць залишаються по сім чисел, включаючи і нуль. Використовуючи правило добутку, маємо

Задача 3. У шаховій секції 12 юнаків і 5 дівчат. Для участі у змаганнях потрібно виділити 4 юнаків і 2 дівчини. скількома способами це можна зробити?

Розв’язання:

4 юнаків з 12 можна вибрати способами 2 дівчини з 5 - способами. за правилом добутку маємо:

Відповідь: 4950 способами.

Задача 4. У десятому класі 30 учнів, з них 10 спортсменів-розрядників. Скількома способами можна скласти туристичну групу з 7 учнів так, щоб до неї увійшли 4 спортсмени-розрядники?

Розв’язання:

З 10 спортсменів потрібно вибрати 4 способами, а з решти учнів вибрати не спортсменів способами. За правилом добутку

Відповідь: 239400 способами.

Задача 5. Із групи атлетів треба вибрати трьох штангістів для участі в міжнародних змаганнях. Скільки в групі атлетів, коли відомо, що це можна зробити 54 способами?

Розв’язання:

Нехай у групі n атлетів. За умовою , або , . Оскільки , то дістанемо, що -- єдиний корінь цього рівняння. Отже, в групі 9 атлетів.

4. Самостійна робота за варіантами

Варіант 1.

1. Якщо , знайти і зобразити на координатній прямій такі множини: ; ; ; ; ; .

2. Обчислити ;

3. Скільки різних колекцій можна вибрати з 25 предметів, якщо в колекцію входить 4 предмети?

4. Скільки різних трицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що в кожному числі немає однакових цифр?

Варіант 2.

1. Якщо , знайти і зобразити на координатній прямій такі множини: ; ; ; ; ; .

2. Обчислити ;

3. У групі з 30 дітей 20 вміють плавати, 25 вміють грати шахи і лише двоє дітей не вміють ані плавати, ані грати в шахи. Скільки дітей вміють і плавати, і грати в шахи?

4. Скільки різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 5, 6, 7, 8, 9?