2. Вивчення нового матеріалу.

Розв’язування комбінаторних задач потребує логічного мислення, але якщо систематизувати вивчений нами матеріал та розв’язані на попередніх уроках задачі, то можна розбити сам процес розв’язання на такі кроки, тобто створити такий алгоритм розв’язування комбінаторних задач:

1. Вияснити яку з логічних умов АБО чи І необхідно використати в задачі, тобто яке з правил суми чи добутку потрібно застосовувати при розв’язуванні.

2. Щоб визначити, яку із сполук використати, виясняємо чи потрібно впроваджувати елементи, і чи вся множина використовується.

Залежно від відповідей на ці запитання вибираємо ту чи іншу структуру.

3. Виясняємо, чи повторюються елементи множин, чи ні.

Тобто, при розв’язуванні будь-якої комбінаторної задачі доцільно скористатись такою наочною схемою (демонстрація таблиці-плакату «Розв’язування комбінаторних задач» і звертання до неї при розв’язанні подальших задач).

Таблиця «Розв’язання комбінаторних задач»

ВИБІР ПРАВИЛА
ПРАВИЛО СУМИ			ПРАВИЛО ДОБУТКУ
Якщо елемент А можна вибрати n способами, а елемент В m способами , то А або В можна вибрати n+m способами			Якщо елемент А можна вибрати n способами, а елемент В m способами , то А і В можна вибрати n*m способами
ВИБІР ФОРМУЛИ
Чи враховується порядок розміщення елементів?
ТАК				НІ
Чи всі елементи входять до сполучення?
ТАК		НІ
ПЕРЕСТАНОВКИ		РОЗМІЩЕННЯ		КОБІНАЦІЇ
Без повторень	З повтореннями	Без повторень	З повтореннями	Без повторень	З повтореннями

Комбінаторні сполуки застосовуються у таких структурах, як трикутник Паскаля та Біном Ньютона.

Числа виду -- кількості комбінацій, згруповані у таблицю, дістали назву трикутника Паскаля, що має такі властивості:

1. Числа кожного рядка є , де n набуває значень 0,1,2,…,m

2. Сума чисел m- го рядка дорівнює , де m набуває значень 0,1,2,…,m

3. Сума чисел будь-якого рядка в два рази більша від суми чисел попереднього рядка.

4. Числа, розміщені на однаковій відстані від кінців рядка, рівні між собою, бо

5. Для вони зростають до найбільшого члена з номером

Для рядок містить два найбільших члени: k-ий і -ий. Попередні члени збільшуються, наступні зменшуються.

Трикутник Паскаля

n m	0	1	2	3	4	5	6	7
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1

Іноді його подають у вигляді рівнобедреного трикутника.

Яку закономірність між числами ви помітили?

Числа n-го рядка трикутника Паскаля збігаються з коефіцієнтами розкладу , який називають біномом Ньютона. Ось порівняйте:

		1
		1 1
		1 2 1
		1 3 3 1
		1 4 6 4 1

З таблиці видно, що числа, які утворюють трикутник Паскаля, та коефіцієнти бінома Ньютона відповідають цифрам або групам цифр, якими записано число .

Щоб пояснити який збіг чисел, досить використати формулу бінома Ньютона для і .

Якщо , то знову одержуємо

Задача. Подати у вигляді многочленна:

а) ; б)

Розв’язання:

а)

б)