Метод золотого сечения

Определение:

Говорят, что точка   осуществляет золотое сечение отрезка  , если

В качестве   и   выберем точку золотого сечения отрезка и симметричную ей. Если  , то при указанном выборе точек получаем, что   - точка золотого сечения отрезка  , а   - точка золотого сечения отрезка  . Таким образом, на каждом шаге, кроме первого, необходимо вычислять значение только в одной точке, вторая берется из предыдущего шага.

Описание метода

Параметр на входе:   - достаточно малая положительная константа, погрешность метода.

1. 

2. Повторять:

3. Если  , то  ;

4. Если  , то  ;

5. пока  ;

6.  .

Анализ метода

Считаем, что один шаг - это один этап цикла (п. 3-4),  . Тогда, считая длину отрезка на каждом шаге  , получаем:

;

;

;

Нетрудно проверить, что

(1)

, где  -числа Фибоначчи.

С другой стороны, выполняется равенство:

(2)

Чтобы погрешность вычисления была менее  , должна по крайней мере выполняться оценка на число шагов:

Тогда значение будет вычисляться в  точках.

Недостаток:

• Неустойчивость относительно ошибок округления: мы получаем приблизительные значения чисел   и  , дальнейшие вычисления только накапливают ошибки, что может привести к нарушению условия вложенности отрезков   и расходимости процесса.

Пусть   вычисляется с погрешностью 

Тогда имеем: 

Из (1):

.

Подставляем (2):

(3)

.

Известно, что последовательность   сходится при  , В то же время  , поэтому  .

При этом числа Фибоначчи растут со скоростью геометрической прогрессии, знаменателем которой является число  . Вследствие этого при фиксированной точности "раскачка" процесса происходит довольно быстро.

Рекомендации в выборе параметров

Для сходимости процесса необходимо согласовывать точность   вычисления величины   с заданной точностью   результата.

Из (3) получаем, что при

 и  ,

будет выполняться 

Метод золотого сечения

[править | править исходный текст]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод золотого сечения — метод поиска экстремума действительной функции одной переменной на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Является одним из простейших вычислительных методов решения задач оптимизации. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году.

Описание метода[править | править исходный текст]

Пусть задана функция  . Тогда для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки   и   такие, что:

Иллюстрация выбора промежуточных точек метода золотого сечения.

, где   — пропорция золотого сечения.

Таким образом:

То есть точка   делит отрезок   в отношении золотого сечения. Аналогично   делит отрезок   в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

Алгоритм[править | править исходный текст]

1. На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.

2. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поискаминимума), отбрасывают.

3. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.

4. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.