21. Класифікація марковських випадкових процесів та використання їх моделей при моделюванні бойових дій.

Відповідь: Згідно з характером переходу зі стану до стану марковські процеси розподіляються на два класи:

випадкові процеси з дискретними станами;

випадкові процеси з безперервними станами.

Випадковий процес називається процесом з дискретними станами, якщо можливі стани системи S₁, S₂, …, S_i, …, S_n можна перерахувати, а сам процес полягає в тому, що час від часу система S стрибком (миттєво) переходить (перестрибує) з одного стану до іншого. Наприклад, процеси відмов і ремонту озброєння та військової техніки, процеси, що відбуваються в системах розвідки і системах вогню.

Окрім процесів з дискретними станами існують випадкові процеси з безперервними станами, для яких характерний поступовий, плавний перехід від стану до стану.

Приклади використання моделей марковських випадкових процесів:

ведення розвідки цілей та видача інформації про них за період бойових дій;

вхід цілей в зону протиповітряної оборони з’єднання, їх виявлення засобами розвідки та обстріл цілей;

функціонування протягом певного часу технічної системи, що супроводжується відмовами та відновленням її агрегатів і пристроїв;

функціонування командного пункту частини під час обробки інформаційних потоків;

ведення вогню та знищення цілей артилерійською батареєю під час відбиття танкової атаки;

наведення на ціль та її ураження високоточною зброєю тощо.

22. Теорема складання ймовірностей та її використання при розробці моделей.

Відповідь: Теорема додавання імовірностей дає можливість визначити імовірність одного якого-небудь з декількох несумісних подій, імовірності яких відомі. Подібним же чином цю теорему можна поширити на суму декількох неспільних подій і написати, що імовірність суми декількох неспільних подій А₁ чи А₂, чи, …, чи А_i, …, чи А_n буде дорівнювати

Доведена теорема зветься узагальненої теоремою додавання імовірностей і формулюється так: імовірність появи одного з декількох неспільних подій (байдуже, якого саме) дорівнює сумі імовірностей цих подій. Коли події А и В спільні, імовірність суми цих подій виражається формулою:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) .

Методом повної індукції можна довести загальну формулу для імовірності суми будь-якого числа спільних подій:

Дана теорема використовується при моделювання різних видів бойових дій.

23. Теорема множення ймовірностей та її використання при розробці моделей.

Відповідь: У загальному виді теорема множення формулюється так: імовірність добутку декількох залежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій, причому імовірність кожного наступного один по одному події обчислюється за умови, що всі попередні мали місце:

У випадку незалежних подій теорема спрощується і приймає вид:

,

тобто імовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій.

Дана теорема використовується при моделювання різних видів бойових дій.

24. Формула повної ймовірності, практичне використання при розробці моделей.

Відповідь: Формула повної ймовірності формулюється таким чином: повна імовірність події дорівнює сумі добутків з імовірностей гіпотез на імовірності події по кожній із усіх гіпотез:

Важливо, що сума імовірностей усіх можливих гіпотез повинна дорівнювати одиниці, тобто

Дана формула (теорема) використовується при моделювання різних видів бойових дій.

25.Функції розподілу випадкової величини, застосування їх в моделях.

Відповідь: Функцією розподілу випадкової величини Х називається імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше, ніж якесь наперед задане значення х: F(x)=Р(Х< х)

Якщо випадкову величину розглядати як випадкову крапку Х на осі Ох , що у результаті іспиту може зайняти те чи інше положення на цій осі, то функція розподілу F(x) є імовірність того, що випадкова крапка Х в результаті іспиту потрапить ліворуч крапки х.

Функція розподілу є універсальною формою імовірнісних моделей випадкових величин. Вона існує як для безперервних, так і для дискретних випадкових величин.

Загальні властивості функції розподілу:

1. Функція розподілу як імовірність є величина безрозмірна.

2. При х = -  функція розподілу дорівнює нулю, тобто

F(- )=0.

3. При х = +  функція розподілу дорівнює одиниці, тобто

F(+ )=1.

4. Функція розподілу є не спадна функція від х, тобто якщо х₂х₁, то

F(x₂)  F(x₁).

Функція розподілу в моделях використовується для: опису закону розподілу випадкової величини; для визначення імовірності попадання випадкової величини на заданий інтервал.

26. Числові характеристики випадкової величини, їх фізичний зміст.

Відповідь: З імовірнісної точки зору найбільш повну характеристику випадковій величині дає її закон розподілу, що встановлює залежність між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Однак у практиці часто досить користатися величинами, що характеризують тільки деякі найбільш істотні риси розподілу. Величини, що характеризують середнє значення і ступінь розкиду можливої значень випадкової величини, прийнято називати числовими характеристиками випадкової величини, чи параметрами, що характеризують розподіл випадкової величини.

До таких величин відносяться:

а) математичне сподівання випадкової величини, що характеризує її середнє значення, біля якого групуються можливі значення випадкової величини;

б) дисперсія чи середнє квадратичне відхилення випадкової величини, що характеризують ступінь розкиду можливих значень випадкової величини біля середнього її значення і т.п.

Математичним сподіванням випадкової величини називають її середній очікуваний результат. Математичне сподівання випадкової величини знаходиться як сума парних добутків усіх можливих

Математичне сподівання випадкової величини - величина постійна і так само, як і імовірність, є об'єктивною характеристикою випадкової величини, для дискретних випадкових величин воно розраховується за формулою:

Для безперервної випадкової величини Х с щільністю імовірності f(x) математичне сподівання можна визначити як інтеграл

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.

Середнє квадратичне відхилення так само, як і дисперсія, характеризує розсіювання випадкової величини щодо її математичного сподівання.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається корінь квадратний з дисперсії випадкової величини.