103

К концу века Фреге (Frege) еще теснее связал логику и математику, и появился капитальный труд «Формаль­ная математика» под редакцией Пеано (Реапо). Пере­ходя теперь к двадцатому веку, мы прежде всего обра­щаемся к Расселу (Russell) и Уайтхеду и их гениаль­ной книге «Принципы математики». В дальнейшем появляется слишком много имен, чтобы их можно было упоминать в столь сжатом очерке. Однако сам этот факт является наглядным свидетельством того, на­сколько плодотворной стала та область знаний, в кото­рой мы можем проследить развитие кибернетических идей. Это отнюдь не означает, что ученые, работающие в области математической логики и топологии, признают себя кибернетиками. Это далеко не так. Однако эти чисто теоретические, абстрактные и «бесполезные» пред­меты являются тем источником, из которого черпаются почти все основные теоретические положения киберне­тики. Богатство, заключенное в этом источнике, накоп­ленное за две тысячи лет его подспудного развития, не­оспоримо.

В двух последующих главах мы обратимся к теоре­тическим результатам, полученным современными спе­циалистами по кибернетике из этого исторического ма­териала. Сделанный выше обзор должен помочь в осво­ении этих новых идей.

Глава 9

ПРИНЦИП ВНЕШНЕГО ДОПОЛНЕНИЯ

Работы таких ученых, как Гёдель, над проблемами типа проблемы неполноты формальных языков велись в совершенно новой области. Ибо, действительно, разве можно говорить о математике в прежнем смысле, если она занимается уже не просто математическими опера­циями, а стремится выяснить, что она может и чего не может утверждать. Один из первых создателей этой но­вой области — Гильберт (Hilbert) назвал ее метамате­матикой или теорией доказательств. Второй термин полностью объясняет содержание предмета, само воз­никновение которого связано с постановкой вопросов о

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ

«доказуемости» Термин метаматематика подразумевает, что язык, на котором мы обсуждаем, например, нераз­решимость предложения, не является тем же языком, которым это предложение написано, а представляет со­бой язык высшего порядка, называемый метаязыком.

Необходимо подчеркнуть, что систематическое рас­смотрение этих проблем в логике в настоящее время тесно переплелось с математической теорией множеств, которая сама по себе имеет непосредственную связь с кибернетикой. Теория множеств дает многие средства, необходимые для описания систем и их преобразований, а также для исследования таких вопросов, как изомор­физм, о котором упоминалось выше. Кибернетики ши­роко воспользовались как той частью теории множеств, которая рассматривает множество точек и входит в то­пологию, так и другой, которая исследует абстрактные множества в чистой алгебре. Здесь мы вплотную подхо­дим к работам современных математиков, в числе кото­рых следует назвать такие имена, как Бурбаки (Bour- baki) во Франции (общий псевдоним группы ученых) и Клини в США, внесших существенный вклад в обе ча­сти теории множеств.

В этой главе мы хотим изложить основную идею но­вого принципа, получившего название принципа внеш­него дополнения. Эта идея связана как с метаматемати­кой, так и с теорией «черного ящика». Я хочу проиллю­стрировать эту идею на конкретном примере из моего собственного опыта. В свое время на одном металлурги­ческом заводе методами исследования операций была прове­дена научно-исследовательская работа, охватывающая ряд производственных процессов, целью которой была разработка приспосабливающейся системы управления производством. Эта работа была выполнена в рамках программы исследования производства методами иссле­дования операций, отчет о работе опубликован в жур­нале «Applied Statistics» [11]. Здесь же мы намере­ваемся рассмотреть структуру этой системы с киберне­тической точки зрения. Первоначально была принята схема для анализа производства, приведенная на рис. 3. В основу построения этой схемы были положены сле­дующие соображения.

105

На реальное производство влияет сложная окружаю- щая среда, обозначенная на схеме прямоугольником, названным «действительные факторы». На основании изучения окружающей среды была построена в виде формулы математическая модель, отображающая фак­торы, влияющие на производство. На схеме связь моде­ли с действительными факторами представлена пунктир­ной линией со знаком Л, указывающим на приближен­ное соответствие модели и реальной действительности.

Управляющее Окружающая

устройство ареоо

Рис. 3.

Далее, были разработаны методы составления произ­водственного плана на основании этой модели. При этом, естественно, предусматривалось, что план может быть реализован в действительном производстве. Эта связь представлена пунктирной линией со знаком при­ближенного соответствия В. Таким образом, в той части схемы, которая соответствует реальной действительно­сти, показаны факторы окружающей среды, влияющие на производство, а в части схемы, изображающей упра­вляющие устройства, представлено аналогичное отноше­ние, т. е. операционная модель, влияющая на план. Да­лее, план воплощается в производстве, что обозначено жирной сплошной линией в нижней части схемы. Итак, пока что как будто все обстоит благополучно. Однако если бы факторы окружающей среды, влияющие на

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ

производство, существенно изменились, то возникла бы необходимость соответственно изменить операционную модель. Предусмотренный с этой целью механизм пред­ставлен в виде обратной связи в верхней части схемы.

Такая система планирования, очевидно, обладает способностью управления. Действительно, если прибли­женное соответствие, обозначенное А, в среднем отобра­жает реальную действительность, то и план, рассматри­ваемый как аппроксимация В действительного производ­ства, также в среднем будет вполне осуществим. Более того, такая ситуация является устойчивой, поскольку любое серьезное возмущение в окружающей среде, кото­рое влияет на производство, будет через цепь обратной связи подстраивать операционную модель, что, в свою очередь, повлечет соответствующее изменение плана, восстанавливая приближенное соответствие В. По­скольку имеется механизм обратной связи, соединяющий реальные факторы с операционной моделью, то, предпо­лагая, что этот механизм является достаточно действен­ным, можно выразить устойчивость самого управляю­щего устройства через эффективность перехода от мо­дели к плану по линии, обозначенной С. Таким образом, управляющее устройство можно считать устойчивым тогда, когда переход С выполняется идеальным образом.

Предположим, что условие устойчивости управляю­щего устройства всегда соблюдается. Рассмотрим те­перь, что произойдет, если вмешается руководство пред­приятия и, исходя из конъюнктурных соображений, потребует внесения изменения в план. В этом случае измененный план также может быть реализован в произ­водстве, но уже благодаря внутренним ресурсам самого производства и его хорошей организации непосредствен­но в цехах. В результате соответствие В сохраняется. Вся система продолжает безотказно работать, и вслед­ствие того, что в факторах, непосредственно влияющих на производственные процессы в цехах, не произошло никаких изменений, на схеме совершенно справедливо не отражено влияние реального производства на реаль­ную окружающую среду, а следовательно, отсутствует и обратная связь к операционной модели. Даже пред­положив, что такое вмешательство руководства в план

происходит постоянно, мы видим, что система остается устойчивой и никаких недоразумений не возникает. Од­нако беда заключается в том, что переход С уже не яв­ляется прежним, а ведь устойчивость управляющей ча­сти определялась как раз через постоянство именно этого перехода. Получается, что на языке управляющей части системы наличие и отсутствие управления одно и то же, так как в пределах этого языка изменение во всей системе установить невозможно, оно неопределимо.

Можно указать много других видов возмущений, затрагивающих всю систему в целом, которые приводят к тому же результату: все продолжает обстоять благо­получно с точки зрения управляемых процессов, но об­наруживается, что язык самого управляющего устрой­ства страдает неполнотой. Опасности, скрытые в такой ситуации, достаточно очевидны. При проведении экспе­риментальных исследований на этой стадии в действи­тельности наблюдалось, что при некоторых возмуще­ниях, влияющих на производство, модель на него не реа­гировала, поскольку эта модель является абстракцией реальной действительности. Предполагалось, что рас­сматриваемая система может реагировать на такие воз­мущения, поскольку при инвариантности перехода С план производства должным образом не изменится, на­рушится приближенное соответствие В и реализация плана не сможет быть осуществлена. Однако, поскольку одновременно на план влияли внешние для системы воз­действия, обусловленные вмешательством руководства и возмущениями со стороны окружающей среды, возникли очень сложные и запутанные взаимодействия. Таким об­разом, оценить с какой-либо определенностью поведение системы стало совершенно невозможно. Система пере­шла в состояние, для которого язык управления стал со­вершенно неопределенным. Более того, развитая в мета­математике теория показывает, что любая попытка исправить положение за счет усовершенствования языка управляющей системы обречена на провал. Можно до­биться того, что усовершенствованный язык даст луч­шее описание системы, но нельзя гарантировать, что при использовании этого языка никогда не возникнет нераз­решимой задачи.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ

На схеме (рис. 4) показано, как решается задача. Если язык управляющего устройства не может быть адекватным в силу теоремы неполноты, то его необхо­димо подчинить управлению извне, выражаемому язы­ком высшего порядка, или метаязыком. В таком случае язык, при помощи которого выражается устойчивость управления в переходе С, можно непрерывно контроли­ровать извне по отношению к самому управляющему

Управляющее Окружающая

устройстдо среда

Рис. 4.

устройству. Чтобы выйти за рамки этого языка, но в то же время не оторваться от реальной системы, очень су­щественно привязаться к такому свойству системы, ко­торое неразрывно связано с ее действительным сущест­вованием. Следовательно, бесполезно просто разраба­тывать другой язык для описания реальной ситуации, ибо он в силу теоремы Гёделя также может содержать неразрешимые предложения. Совершенно очевидно, что решение проблемы заключено в примерном соответствии А и В, ибо эти звенья являются непосредственными ме­рилами того, каким образом язык управления связан в обоих направлениях с реальными процессами производ­ства, происходящими в цехах. Если система действи­тельно устойчива, то А к В, как меры эффективности языка управления, применяемого для описания ситуа­

109

ции, будут коррелированы. При действии на систему возмущения эта корреляция, обозначенная на рис. 4 буквой г, будет изменяться. Если в системе управления предусмотрен контур обратной связи, обеспечивающий изменение перехода С от фиксированной операционной модели к вырабатываемому плану в соответствии с из­менением корреляции г, то язык управления не будет более неразрешимым.

Необходимо сразу подчеркнуть, что корреляция г сама по себе не может быть описана в терминах каких- либо параметров системы, так как она описывает пове­дение самой управляющей части. Таким образом, с пол­ным основанием можно считать, что информация, посту­пающая в план по этому новому контуру обратной связи, представляет собой выход «черного ящика». Язык управления, в который вводится эта новая инфор­мация, очевидно, не способен оценить поведение г, ибо г относится именно к тем элементам всей системы, кото­рые неразрешимы для языка управления. В практиче­ском исследовании, пример которого здесь приводится, было принято именно такое решение, т. е. был разрабо­тан метод измерения г и введения результатов этих из­мерений в переход С. Только после этого задача была успешно решена.

Приведенные рассуждения, а также рассмотрение практического примера позволяют сформулировать один из принципов прикладной кибернетики. Этот принцип сводится к тому, что в силу теоремы неполноты Гёделя любой язык управления в конечном счете недостаточен для выполнения поставленных перед ним задач, но этот недостаток может быть устранен благодаря включению «черного ящика» в цепь управления. Назначение «чер­ного ящика» состоит именно в том, чтобы формулиро­вать решения, выражаемые языком более высокого по рядка, которые по определению, конечно, не могут быть выражены в терминах управления. При этом указанные решения призваны устранять недостатки первоначально созданной машины, принимающей решения. Насколько мне известно, этот принцип в прикладной кибернетике до сих пор еще никем не формулировался и, кроме того, он вообще использовался только в экспериментальных