– Classificação
Os quadriláteros podem ser classificados como: paralelogramo, trapézio ou quadrilátero qualquer.
– Paralelogramo
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
Valem as seguintes propriedades:
1ª) Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
e
2ª) Os ângulos opostos são congruentes.
e
3ª) As diagonais cortam-se no ponto médio.
e
Paralelogramos notáveis
|
Retângulo |
Losango |
Quadrado |
Figura |
A C D 
B
|
B
A C
D
|
A B C D 
e
|
Definição |
É o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90º. |
É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes entre si. |
É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos congruentes entre si. |
Propriedade |
As diagonais são congruentes. |
As diagonais cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices. |
As diagonais são congruentes, cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices. |
– Trapézio
É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.
é
denominado base
maior
é
denominado base
menor
é
denominado altura
P
MN = AB + CD
2
ropriedade: 
|
Escaleno |
Isósceles |
Retângulo |
Figura |
|
|
|
Propriedade |
Possui o par de lados opostos não-paralelos não congruentes entre si. |
Os lados não-paralelos são congruentes entre si. |
Um doa lados opostos não-paralelos é perpendicular às bases. |
55) Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale 288 metros e que a base excede em 4m o triplo da altura.
56) Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz de ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110°. Determine o maior ângulo do trapézio.
57)
A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a
da soma dos outros dois ângulos opostos. Determine-os.
58) A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual a terça parte de um reto. Determine os quatro ângulos do losango.
59)
Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo-se que o seu perímetro
mede 84m e que a soma dos lados menores representa
da
soma dos lados maiores.
60)
Determine as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo que a
diferença entre dois consecutivos é igual a
da
soma dos seus ângulos.
61) A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55º. Determine o valor dos ângulos agudos.
62) A base maior de im trapézio isósceles mede 12cm e a base menor 8cm. Calcule o comprimento dos lados não paralelos, sabendo-se que o perimetro é de 40cm.
63) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40cm, sabendo-se que a base excede a altura em 4cm.
7-Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo
7.1 – Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na
figura,
é
uma mediana do ΔABC.
Um triângulo tem três medianas.
As três medianas cruzam-se num ponto G, denominando baricentro do triângulo.
AG = 2GM1
7.2 – Bissetriz
A
bissetriz do ângulo
intercepta o lado oposto no ponto D. O segmento
denomina-se bissetriz
interna relativa ao
vértice A.
As
três bissetrizes de um ângulo cruzam-se num mesmo ponto I,
denominado de centro
do triângulo.
O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
7.3 – Altura
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado.
Na figura é uma altura do ΔABC.
Um triângulo tem três alturas e o ponto de encontro das alturas é o ortocentro.
7.4 – Mediatriz
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
Mediatriz de um triângulo é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio.
Na
figura, a reta m
é a mediatriz do lado
do ΔABC.
Um triângulo tem três mediatrizes.
O centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, isto é, o ponto de encontro das mediatrizes.
64) Sendo G o baricentro do triângulo ABC, determine x, y, z.
AG = 10
BG = y
CG = 14
A
x
6
y
z
G
B
C
65) Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de , determine x.
DP = 16
PM = x
B
A
M
x
P
D C
66)
Sendo H
o ortocentro de um triângulo ABC e B
C
= 150º, determine Â.
67) Sendo H o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de base e B C = 50º, determine os ângulos do triângulo.
68)
Se P
é o incentro de um triângulo ABC e B
C
= 125º, determine Â.
69) Sendo o ΔABC retângulo em A e M o ponto médio de , calcule x e y.
A
B
C
M
x
y
20º
M
A
C
B
3x
y/3
12
b)
c
M
A
C
B
60º
x
y
Bissetriz
M
A
C
B
y
20º
x
Altura
) d)
70)
Na figura, Q
é o ponto médio de
.
é
paralelo a
.
Sendo
=
30cm, determine
.
C
A
B
Q
O
P
71)
Na figura, ABCD é retângulo, M
é o ponto mádio
de
e
o triângulo ABM é equilátero. Sendo
=
15, calcule
.
A
B
C
D
P
M
7
Um feixe da paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.
r1 // r2 // r3
t1 e t2 são transversais
AB = DE
BC EF
72) Determine o valor de x em cada caso abaixo, sendo r, s, e t retas paralelas:
a
s
r
t
8
6
) b)s
r
t
6
4
8
x
9
x
c) d)
s
r
t
6
4
9
x
r
s
t
3
x
4
x
73) Nas figuras, as retas r, s, e t são paralelas. Determine os valores de x e y.
r
s
r
t
5
a
s
r
t
x
5
4
) b) c)s
6
t
5x - 1
4
7
2x + 3
y
3
x
2
6
74)
Na figura,
é
paralela à base
do
triângulo ABC. Calcule o valor de x.
A
B
C
M
x
10
N
12
30
75) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5cm, 6cm e 9cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos seguimentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o seguimento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60cm.
7.6 – Teorema da bissetriz interna
Considere o ΔABC e a bissetriz interna ao vértice A.
BD = AB
DC AC
Da figura, temos:
A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
76)
Se
é
a bissetriz de Â, calcule x
nos casos:
B
a) b) c)
A
6
x
3
5
C
A
B
S
4
6
x
8
C
B
S
3
S
C
A
12
8
x
7.7-Teorema da bissetriz externa
77) Se é bissetriz do ângulo externo em A, determine x.
a
) b)
A
A
B
B
C
C
P
P
x
x
12
12
6
6
12
8
78) Na figura, é bissetriz externa do ângulo Â. Calcule x.
A
B
C
D
x
3
4
2
8-Semelhança de triângulos
8.1-Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
~
:Semelhante
Dois lados homólogos (homo = mesmo,logos = lugar)são tais que um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.
8.2 – Razão de semelhança
Sendo k
a razão entre os lados homólogos,
=
k,
é chamado razão de semelhança de triângulos.
Se k = 1, os triângulos são congruentes.
79) Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.
Q
A
C
B
x
28
20
P
R
10
8
y
80) Se o ΔKLM é semelhante as ΔFGH, determine x.
K
L
M
42
18
12
x
G
H
F
81)
Se
é
paralelo a
,
determine x
nos casos:
a
E
) b) x =A
B
C
D
6
3
E
D
A
36
B
C
8
10
x
27
82) Se α = β, determine x e y nos casos:
a
2
6
8
x
β
) b)
x
β
12
α
α
y
8
6
8
y
4
83) Determine x e y nos casos:
a
C
) b)8
A
B
4
5
5
x
α
α
α
α
y
y
5
6
4
x
4) Na figura abaixo, determine o valor de x.A
B
C
α
α
x
R
S
5
8
10
85) Nas figuras, determine x.
4
x
10
α
α
5
C
15
17
8
x
a) b)
86) Dada a figura, determine o valor de x.
A
B
C
D
E
x
10
15
15
20
87) Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. Determine o perímetro do quadrado de lado x.
x
6
9
88) Determinar a medida do lado do quadrado da figura abaixo:
C
A
B
D
6
4
E
F
9-Relações Métricas no Triângulo Retângulo
89) Complete durante a aula:
a
)
x.y =
b
y
x
) u.v =c
w
) y2 =d
u
v
) v.z =e
z
)
x2+y2
=
90) Calcular x nas figuras:
a) b) c)
8
9
17
x
x
20
15
24
1
5
3
x
91) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A. A alternativa correta é:
a
16
y
x
h
9
A
B
C
)
h = 36; x = 45 e y = 60
b) h = 1,2; x = 1,5 e y = 2
c) h = 12; x = 15 e y = 20
d) h = 3,6; x = 4,5 e y = 6
e) h = 10; x = 8 e y = 6
92)
(MAUÁ) No ΔABC retângulo em A, o cateto
vale 5m. Sua projeção
sobre a hipotenusa vale
m.
Calcular o valor da hipotenusa
e do cateto
.
5
H
25
13
A
B
C
93) (PUC) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em m. O seguimento de x vale:
a
A
B
C
x
13
)
11m
b) 105m
c) impossível, pois 43 não tem raiz exata
d
8
) 7me) n.d.a.
4
94) (PUC) Sabendo-se que o triângulo ABC é retângulo e = h é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
A
a
)
x = b.c
b
x
d
) x2 = h.cc
h
) x2 = b.dd) x2 = b.c
e
B
C
b
c
)
n.d.a.
10 – Área das figuras planas
a) Quadrado
A = a.a = a2
b) Retângulo
A = a.b
c) Círculo
A = π.r2, onde π = 3,14
d) Paralelogramo
A = b.h
e) Losango
A = D.d
2
f) Trapézio
A = (B + b) . h
2
g) Triângulo
A = b.h
2
95) Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.
a) quadrado b) retângulo c) paralelogramo
5
5
3
6
8
6
d) losango e) quadrado f) losango
5
8
8
5
4
6
g) trapézio h) paralelogramo i)
5
6
10
4
2
6
3
4
5
8
j) k) l)
6
5
6
2
5
6
8
10
96) Determine a área do triângulo nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas.
a) b) c)
8
8
8
8
17
10
10
12
97) A área de um retângulo é de 40cm2 e sua base excede em 6cm sua altura. Determine a altura do retângulo.
98) Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm de perímetro. Determine suas dimensões.
99) A base de um retângulo é o dobro de sua altura. Determine suas dimensões, sendo 72cm2 sua área.
100) As bases de um trapézio isósceles medem, respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a área desse trapézio, sabendo-se que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm.
101) Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo 40cm2 a área do trapézio e 5cm a altura.
102) Determine o lado de um quadrado, sabendo-se que, se aumentarmos seu lado em 2cm sua área aumenta 36cm2.
103) Determine a área de um triângulo equilátero com:
a) perímetro de 30m. b) altura de 6m.
104) Determine a área do círculo e o comprimento da circunferência nos casos:
a) b) c)
5
12m
d
5m
105) determine a área de cada setor circular sombreado nos casos abaixo:
a) b)
40º
70º
c) d)
10m
6m
106) Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilétro dado é um quadrado.
a) b) c)
a
a
a
107) Calcule a área da superfície sombreada.
a) b) c)
a
a
a
108) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD têm lado medindo 2cm.
a
C
D
B
D
C
A
B
C
D
) b) c)
A
B
A
109) Determine a área da região sombreada.
a) b)
10
10
10
10
5
5
5
5