8. – Ângulos num polígono regular

• Ângulo interno

Um polígono regular é equiângulo. Sendo a_i a medida de um ângulo interno, como ele é suplementar do ângulo externo, temos:

a_{i =}

• Ângulo externo

Os ângulos externos têm medidas iguais. Sendo a_e a medida de um ângulo externo, temos:

• Diagonal

A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono.

Nas figuras abaixo, os segmentos e são diagonais dos polígonos ABCDE.

• Número de diagonais

Se um polígono tem n lados, então ele possui diagonais

Na figura, tem-se um polígono de 7 lados e suas 14 diagonais.

Nota:

Nessa fórmula, o número (n-3) representa o número de diagonais que partem de um vértice.

40) Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache:

1. O polígono;

2. O total de diagonais;

3. A soma dos ângulos internos;

4. A soma dos ângulos externos;

5. A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.

41) Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono.

42) Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.

43) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.

44) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º?

45) Calcule o número de diagonais de um decágono.

46) Calcule o número de diagonais de um icoságono.

47) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.

48) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

49) Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas.

5 – Ângulos na circunferência

5.1 – Ângulo central

É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.

A medida de um ângulo central é igual a medida do ângulo que ele enxerga.

5.2 – Ângulo inscrito

É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são cordas.

A medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco que ele enxerga.

Observação:

Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

^{ΔABC é retângulo}

5.3 – Ângulo de vértice interno

A medida de um ângulo de vértice interno a circunferência é igual a semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.

5.4 – Ângulo de vértice externo

A medida de um ângulo de vértice externo a circunferência é igual a semidiferença das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.

5.5 – Ângulo de segmento

A medida de um ângulo de segmento é igual a metade da medida do arco por ele determinado.

50) Nas figuras, calcule o valor de x:

1. 

   A

   B

   C

   2x

   140º

   A

   B

   C

   D

   3x

   30º

   2x

   b)

51) Determine o valor do ângulo x nos casos:

1. x

   70º

   x

   50º

   x

   120º

   b) c)

150º

d

50º

x

65º

x

165º

100º

x

110º

) e) f)

52) Calcule x nas figuras:

1. C

   b) c)

D

C

B

A

D

B

x

A

140º

60º

B

A

P

136º

32º

P

x

O

O

x

C

D

53) Na figura, o arco CMD é igual a 100° e o arco ANB mede 30°. Calcule o valor de x.

C

x

A

B

D

N

M

54) Na figura, sendo ABC = 260°, calcule o valor de α.

α

P

B

A

C

O

6 – Quadriláteros

6.1 – Definição e elementos

Quadrilátero é o polígono de quatro lados.

6.2 – Soma de ângulos internos

A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

+ + + = 360º