Геометрическая прогрессия. Формула общего члена и суммы первых членов.
Числовую последовательность { b n }, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией :
b n + 1 = b n · q .
Важно отметить,
что число q ,
которое называется знаменателем
прогрессии ,
отлично от нуля. Так как
то
Верна
и обратная теорема.
Последовательность
{ b n
} является
геометрической тогда и только тогда,
когда для любого n
> 1
выполняется соотношение
где
при
всех n .
Тем не менее, важно понимать, что формула
справедлива
только для геометрической прогрессии
с положительными членами, а предыдущее
соотношение верно для произвольной
геометрической прогрессии.
Каждый член геометрической прогрессии { b n } определяется формулой b n = b 1 · q n – 1.
Доказательство
Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k . Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем b k + 1 = b k · q = b 1 · q k – 1 · q = b 1 · q k . Теорема доказана.
Модель 1.2. Банковский счет.
Сумма n
первых членов
геометрической прогрессии { b
n }
равна
при
q ≠ 1
и S n
= n
· b
1
при q
= 1.
Эти формулы также доказываются методом математической индукции. Докажите их самостоятельно.
При | q
| < 1
,
поэтому в этом
случае геометрическая прогрессия
называется бесконечно
убывающей .
Суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии называется число
,
где S
n –
сумма n первых
членов геометрической прогрессии.
Сумма бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
(| q | < 1)
равна
Для доказательства
достаточно заметить, что
В
предпоследнем переходе использовались
свойства пределов последовательностей.
Модель 1.3. Ахиллес и черепаха.
Уравнение с одной переменной. Корни уравнения.
Линейное уравнение.
Уравнение вида ax + b = 0, где x − переменная, a и b − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой .
Если a = b = 0, то решением уравнения ax + b = 0 является любое число.
Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет.
Если a
≠ 0, то
уравнение ax
+ b
= 0
называется линейным
и имеет ровно
одно решение
Пример 1
Решите уравнение x = 1.
Показать решение
Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо x этого числа получается верное числовое равенство.
Ответ. 1.
Пример 2
Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 0.
Показать решение
Имеем:
Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно, явно не входит в уравнение) равенство 1 = 0 не имеет место.
Ответ. Нет решений.
Пример 3
Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 1.
Показать решение
Имеем
Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении переменной равенство 1 = 1 является верным.
Ответ. x − любое число.
Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений
Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.
Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.
С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.
Когда получено значение последнего неизвестного x n , подставляем его в уравнение, которое позволяет найти x n – 1 по x n .
По найденным x n – 1 и x n находим x n – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.
Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно будет выразить одну неизвестную через остальные.
Пример 1
Решить
систему уравнений
Показать решение
Выразим
из первого уравнения переменную x
:
и
подставим её во второе и третье уравнения:
Выразим
теперь из второго уравнения переменную
и
подставим её в третье уравнение системы:
Теперь
третье уравнение зависит только от y
и
мы можем его решить:
Итак,
переменная y
найдена.
По уже полученным формулам для x
и
z
мы
можем последовательно их найти:
Ответ. (2; –1; 1).