51. Подобие треугольников. Признак подобия треугольников по трем сторонам.

Теорема 4.7. 

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рисунок 4.3.2.

Доказательство

Пусть Δ  ABC и Δ  A ₁ B ₁ C ₁ таковы, что AB  =  A ₁ B ₁ ; BC  =  B ₁ C ₁ ; AC  =  A ₁ C ₁. Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть Δ  A ₁ B ₁ C ₂ – треугольник, равный Δ  ABC , у которого вершина C ₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C ₁ относительно прямой A ₁ B ₁. По предположению вершины C ₁ и C ₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C ₁ C ₂. Треугольники A ₁ C ₁ C ₂ и B ₁ C ₁ C ₂ – равнобедренные с общим основанием C ₁ C ₂. Поэтому их медианы A ₁ D и B ₁ D являются высотами. Значит, прямые A ₁ D и B ₁ D перпендикулярны прямой C ₁ C ₂. A ₁ D и B ₁ D имеют разные точки A ₁ и B ₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C ₁ C ₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Рисунок 4.3.3.

52. Теорема о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Теорема 3.2. 

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Доказательство

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c . Допустим, что a не параллельна b , тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A , не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b , проходящие через точку A , не лежащую на данной прямой c , и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

53. Определение тригонометрических функций острого угла.

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)

• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)

• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок).

• Синусом называется отношение

• Косинусом называется отношение

• Тангенс определяется как

• Котангенс определяется как