66. Длина окружности. Площадь круга.

Длина окружности — это длина закрытой кривой. Определение окружности в статье Окружность.

Длина окружности вычисляется из диаметра по формуле::

Или из половины диаметра, радиуса:

где r — это радиус, d — диаметр круга, а π (греческая буква пи), которая является математической постоянной, отношением длины окружности к ее диаметру (значение пи, первые цифры: 3.141 592 653 589 793).

Теорема 13.6. 

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей ее окружности на радиус:

Доказательство

Рисунок 13.3.1.

Построим два правильных n -угольника: P ₁ – вписанный в круг и P ₂ – описанный около круга (рис. 13.3.1).

Многоугольники являются простыми фигурами. Многоугольник содержит круг, а многоугольник содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника разбивают его на n треугольников, равных треугольнику AOD . Поэтому   Так как     где p – периметр многоугольника   r – радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника :       Итак, многоугольник содержащийся в круге, имеет площадь   а многоугольник, содержащий круг, имеет площадь   При достаточно большом n периметр p отличается сколь угодно мало от длины l окружности, а cos α сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому площади многоугольников сколь угодно мало отличаются от величины   Согласно определению площади произвольной фигуры это значит, что площадь круга   Теорема доказана.

Следствие 13.1. 

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле   где r – радиус круга, α – градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 13.3.2).

Рисунок 13.3.2.

Рисунок 13.3.3.

Рисунок 13.3.4.

Следствие 13.2. 

Площадь сегмента , не равного полукругу, вычисляется по формуле   где α – градусная мера дуги кругового сегмента, а S _Δ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «–» выбирается, если α < 180° (рис. 13.3.3), знак «+», если α > 180° (рис. 13.3.4).

67. Вектор. Сумма и разность векторов. Координаты вектора.

Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка AB его концы равноправны, то для вектора один из концов отрезка, например, A называется началом , а другой, то есть B , – концом . Обозначим вектор либо указанием концов отрезка, причем начало вектора ставится на первое место, либо строчной латинской буквой со стрелкой или чертой над буквами.

Рисунок 11.1.1.

Рисунок 11.1.2.

Рисунок 11.1.3.

На рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок AB , а на рис. 11.1.2 – вектор на рис. 11.1.3 – вектор

Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными , если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными . Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Суммой векторов   и называется вектор   Для любых векторов   справедливы равенства

Теорема 11.6. 

Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство

Доказательство

Пусть A  ( x ₁ ;  y ₁ ), B  ( x ₂ ;  y ₂ ), C  ( x ₃ ;  y ₃ ) – данные точки.

Вектор имеет координаты вектор имеет координаты Следовательно, вектор имеет координаты Вектор имеет такие же координаты. По теореме 11.5  Теорема доказана.

Рисунок 11.2.1.

Рисунок 11.2.2.

Замечание. Теорема 11.6 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов и Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора будет суммой векторов и

Правило параллелограмма : для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рисунок 11.2.3.

Разностью векторов   и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор   откуда c ₁  =  a ₁ –  b ₁ ; c ₂  =  a ₂ –  b ₂.

Произведением вектора на число  λ называется вектор т. е.

• Для любого вектора и чисел λ и μ 

• Для любых двух векторов и и числа λ