46. Средняя линия треугольника и ее свойства.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема 4.12. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство

Пусть [ DE ] – средняя линия в треугольнике ABC , т.е. AE  =  EC , CD  =  BD . Проведем через точку D прямую a , параллельную стороне AB . По теореме 4.11 прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE . Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB . Проведем среднюю линию DF . Она параллельна стороне AC . Тогда по лемме 4.1 отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB . Теорема доказана.

Рисунок 4.6.3.

Теорема 4.13. 

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство

Пусть стороны угла O пересекаются параллельными прямыми в точках B , D и A , C соответственно.

Теоремой утверждается, что

Разделим отрезок OD на n равных частей. Пусть δ ₁ – длина отрезка деления. Тогда OD  =  n  · δ ₁.

Рисунок 4.6.4.

Возможны два случая.

1. Существует такое n , при котором C – точка деления. То есть существует m  <  n такое, что OC  =  m  δ ₁. Проведем через точки деления отрезка OD прямые, параллельные прямой BD . По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB   на равные отрезки некоторой длины . Тогда , и   т. е.

2. Ни при каком n ,  C не является точкой деления. Допустим, или без ограничения общности Отложим на луче OD отрезок Разобьем OD на n равных частей и проведем через точки разбиения прямые, параллельные BD . При достаточно большом n на отрезке C ₁ C будет точка деления. Обозначим ее через X , а соответствующую точку на стороне OB – через Y .

По доказанному

Заменим OY на большую величину OA , а OX – на меньшую величину и получим или Это противоречит построению отрезка .

Теорема доказана.

47. Площадь параллелограмма.

Теорема 13.3. 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 13.2.5):

S  =  a  ·  h .

Доказательство

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый (рис. 13.2.3).

Рисунок 13.2.3.

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB . Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB . Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD . Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC . Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD , т.е. равна AE  ·   AD . Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD , и, следовательно, S  =  a  ·  h . Теорема доказана.

Рисунок 13.2.4.

Рисунок 13.2.5.