Окружность, описанная около треугольника.
Рисунок
6.3.1.
Окружность называется описанной около треугольника , если она проходит через все его вершины.
Теорема 6.5.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Доказательство
Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC , а точка O – точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра AO = OC = OB . Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB . Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Отсюда, по определению, центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Теорема доказана.
Многоугольник. Правильный многоугольник.
Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.
Свойства правильного многоугольника.
Теорема 9.4.
Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают.
Доказательство
Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B . Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C , соседней с B . Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1), так как AB = BC , OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA . Отсюда имеем OC = OB = OA . OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C . Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O , является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O . Теорема доказана.
Рисунок
9.3.1.
Следствие 9.2.
Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.
Теорема 9.5.
Сторона
правильного
n -угольника
связана с радиусом R
описанной
окружности формулой
Доказательство
Из
Δ AOB
что
и требовалось доказать.
Рисунок
9.3.2.
Следствие 9.3.
Периметры правильных n -угольников относятся как радиусы описанных окружностей.