32. Числовые неравенства и их свойства.

Неравенство - одно из фундаментальных понятий математики.

Если два вещественных числа a и b соединены знаком неравенства ≠ или одним из отношений порядка a > b, или a < b , или a b, или же a b , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.

Неравенства отношений >,< называют строгими,неравенства , называют нестрогими.

Неравенства отношений < и , а так же неравенства > и называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравества < и >, а так же > и ,< и , и называются неравенствами разного смысла (разного знака)

Среди свойств числовых неравенств выделяют следующие:

1. a > b, тогда b < a. Верно и обратное

2. Если a > b и b > c, то a > с

3. Если a > b, то для любого с a + c > b + c. Верно и обратное

4. Если a > b, то для любого с > 0 ac > bc. Верно и обратное

5. Если a > b, то для любого с < 0 ac < bc. Верно и обратное

6. Если a > b и c > d, то a + c > b + d (Возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла)

7. Если a > b и c < d , то a - c > b — d (Возможность почленного вычитания неравенств разного смысла)

8. Если a > b, b 0 и c > d, d 0 , то ac > bd (Возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла)

9. Если a > b, b 0 и c < d , d > 0 ,то a / c > b / d (Возможность почленного деления неравенств разного смысла)

10. Если a, b 0 то для любого натурального n справедливо bⁿ (Возможность почленного умножения n одинаковых неравенств неотрицательных чисел)

 

Пример 1

Равносильны ли неравенства

Показать решение

Неравенства неравносильны. Действительно,

Неравенство x  + 3 < 5 будет верным и тогда, когда x  + 3 < –5, например, при x  = –100. Первое же неравенство при x  = –100 неверно.

Ответ. Нет.

Пример 2

Равносильны ли неравенства и

Показать решение

Неравенства неравносильны. В самом деле,

Значит, множеством решений первого неравенства являются область x  ≥ 0, а второго x  > –1. Поскольку это разные множества, то неравенства неравносильны.

Ответ. Нет.

33. Линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Говорят, что несколько неравенств образуют систему , если нужно найти все общие решения данных неравенств. Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство. Традиционно неравенства системы объединяются фигурной скобкой.

Пример 1

Решите систему неравенств

Показать решение

С помощью координатной прямой находим, что

1

Ответ.  

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность , если необходимо найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Традиционно совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой.

Пример 2

Решите совокупность неравенств

Показать решение

Для решения совокупности неравенств нужно взять все x , которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств. Значит,

Ответ.