Методические указания к контрольным работам

При изучении дисциплины «Математика» необходимо выполнить две контрольные работы №1 и №2. Вариант каждой задачи выбирается по двум последним цифрам номера студенческого билета. Предпоследняя цифра обозначается буквой M, последняя буквой N. Например, для студенческого билета номер 147 M = 4, N = 7.

Контрольная работа 1

Задача 1

Даны векторы и . Найти вектор = + , скалярное произведение ( · ) и модули этих векторов, где = (1, М + 4, -1, N – 5), = (-М + 5, -1, 5 - N, 2).

Задача 2

Найти значение матрицы D = A · B – C² и вычислить ее определитель, если даны матрицы:

A = , B = , C = .

Задача 3

Пользуясь формулами Крамера и методом Гаусса решить систему из трех уравнений:

Задача 4

a) Найти точку пересечения прямых и

b) Найти уравнение прямой, проходящей через точку (M+1; N+1) и перпендикулярно к прямой

c) Найти уравнение прямой параллельной к прямой и проходящей через точку (M; N)

d) Какая кривая описывается уравнением ? Написать каноническое уравнение этой кривой.

Задача 5

Найти производные функций:

а) у = (М +N+5) x^M+N+2;

b) у = ln(x + N) cos(M + 2)x - e^(N+1)x tg(M + 2)x;

c) y = ;

d) y = sin[ln(3x + N +2)] - arctg[cos(M +3)x].

Задача 6

Найти вторую производную функции: у = .

Задача 7

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х² функцию и найти ее приближенное значение при х = 0,1.

Задача 8

Исследовать функции и построить их графики:

a)

b)

Задача 9

Найти неопределенные интегралы:

4. ;

5. ;

c) ;

d)

Контрольная работа 2

Задача 1

Найти определенные интегралы:

a) ;

b) ;

с) найти площадь верхней полуволны синусоиды у = sin (М + N + 3) х.

Задача 2

Найти первые частные производные функций.

a) z = x^N+1(cosy)^M+2;

b) z = (e^xy + (N +2)xy)²;

с) z = arctg(xy + M +1);

d) u = [(N+2)x + 2y + (M+3)z]².

Задача 3

Найти градиент функции в точке (х_о,у_о) :

a) z = 2x^N+2 +3y^10-M, x₀ = y₀ = 1

b) z= cos((M+2)x + (11-N)y), x₀ = y₀ = π/2

Задача 4

Исследовать на экстремум функцию z = (х - М -1)² - ху + (у + N +1)² .

Задача 5

Найти общее решение дифференциальных уравнений и проверить правильность найденных решений дифференцированием:

a) ;

b) ;

c)

Задача 6

Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными :

a) (y+11-N) dx = (x-M-1) dy

b) (y+10-M) dx + 2x^N+1 dy = 0

c)

Задача 7

Найти решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

a) (М + 2) у' + (12 - N)y = 0;

b) у" + 2 у' + (N + 1)у = 0;

3. у" -2 у' + (М + 10)у = 0 с условиями у = 0, у' = 1 при х = 0 ;

4. y"-2 y' + (N+3)y = 0.

Задача 8

Найти решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в виде суммы общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения:

a) y' + (N + 2)y=M+3 ,у = 0 при х = 0;

b) у" - 2 у' + (N + 1)у = М + 5.

Вопросы к экзамену

1. Вектор в прямоугольной n-мерной системе координат. Сложение векторов и умножение вектора на число.

2. Скалярное произведение векторов. Модуль вектора.

3. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.

4. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.

5. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и столбцу. Метод треугольников.

6. Обратная матрица.

7. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Запись и решение в матричном виде.

8. Формулы Крамера.

9. Метод Гаусса. Теорема Кронекера – Капелли.

10. Прямоугольная система координат на плоскости.

11. Прямая на плоскости. Угловой коэффициент. Уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через две точки, уравнение в отрезках.

12. Угол между прямыми на плоскости. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов.

13. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

14. Окрестности точек. Определение предела функции.

15. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

16. Предел суммы, разности, произведения и частного.

17. Первый замечательный предел. Функции, эквивалентные в точке

18. Второй замечательный предел. Функции, эквивалентные в точке

19. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности, произведения, частного.

20. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва функции.

21. Производная, её геометрический смысл. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

22. Таблица производных. Правила дифференцирования. Уравнение касательной к графику функции.

23. Производные высших порядков. Логарифмическая производная.

24. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.

25. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

26. Признаки монотонности функции.

27. Поиск экстремумов функции.

28. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

29. Асимптоты графика функции.

30. Формула Тейлора. Остаточный член.

31. Разложение в ряд Тейлора функций е^x, sin(x), cos(x), (1 + х)ⁿ.

32. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

33. Замена переменной при интегрировании. Интегрирование по частям.

34. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница.

35. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

36. Приложения определенного интеграла.

37. Функция многих переменных. Частные производные. Частные производные высших порядков.

38. Линии уровня и градиент функции Производная по направлению.

39. Экстремум функций двух переменных, необходимые и достаточные условия.

40. Понятие дифференциального уравнения. Частное и общее решения.

41. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

42. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение.

43. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Отыскание частного решения по виду правой части уравнения.

44. Числовой ряд, частичная сумма и сумма ряда. Признаки сходимости: сравнения и Даламбера.

45. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница.

46. Сходимость степенных рядов. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

2