Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю:

(27)

2. Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций и :

(28)

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций и :

(29)

4. Производная частного двух дифференцируемых функций и :

(30)

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(31)

6. Производная сложной функции: если , где и – дифференцируемые функции, то .

7. Производные высших порядков: производная 2-го порядка: , 3-го порядка: и т.д. Производная n-го порядка получается n-кратным дифференцированием функции : .

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при равен пределу отношения их производных, если предел отношения производных существует:

(32)

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение ее графика производится по следующему плану:

1. Область определения функции

2. Четность функции, ее периодичность.

3. Точки разрыва функции

4. Промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы.

Для определения промежутков монотонности функции используют достаточный признак монотонности.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале производная сохраняет знак, то при функция возрастает, а при , то функция убывает.

Для установления точек экстремумов функции используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие , в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, «подозрительными на экстремум»).

Первый достаточный признак существования экстремума: если при переходе через критическую точку производная изменяет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума, если изменяет свой знак с минуса на плюс, то точка есть точка минимума.

Второй достаточный признак существования экстремума: если – дважды дифференцируемая функция в точке и , тогда: если , то – точка минимума функции, а если , то – точка максимума.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба.

График функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точки графика, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости, называются точками перегиба.

Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции: если функция является дважды дифференцируемой и ее вторая производная <0 , то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если >0 – график выпуклый вниз (вогнутый).

Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются критическими точками функции по ее второй производной (точками, «подозрительными на перегиб»).

Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку , подозрительную на перегиб, меняет знак, то точка с абсциссой х₀ является точкой перегиба.

6. Асимптоты.

а) вертикальные

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если функция имеет бесконечный разрыв в точке . Необходимо вычислить односторонние пределы функции в точках, ограничивающих промежутки ее .

б) наклонные

Если график функции имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будем искать в виде . Параметры k и b можно найти по формулам:

, (33)

Если хотя бы один из этих пределов является бесконечным или не существует, то наклонных асимптот нет. В случае, когда k = 0, график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением y = b.

7. Дополнительные точки графика.

8. График.