Основные эквивалентности (при )

Функция называется бесконечно большой при , если

Основные теоремы о конечных пределах.

1. Если = С (С – константа) при , то

.

2. 

3. , если – функция, непрерывная в точке .

4. Если и , то

Раскрытие неопределенностей

Чтобы вычислить предел, имеющий неопределенность, нужно предварительно преобразовать функцию, стоящую под знаком предела так, чтобы неопределенность исчезла, т.е. раскрыть неопределенность. Основные виды неопределенностей: .

Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность при , образованную

отношением двух функций, нужно выражения в числителе и знаменателе почленно поделить на х в старшей степени.

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность при (где – число), образованную отношением двух функций, нужно в числителе и знаменателе дроби выделить критический множитель (х – ), и сократить на него дробь.

Для выделения критического множителя в случае, когда данная неопределенность образована отношением тригонометрических, показательных, или логарифмических функций, используют замену бесконечно малых функций на их эквивалентности (см. таблицу 2).

Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность , нужно свести ее ко второму замечательному пределу:

или .

Непрерывность функции, точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует конечный предел

3) этот предел совпадает со значением функции в точке , т.е.

(25)

Если функция не является непрерывной в точке , но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки ), то называется точкой разрыва функции.

Для определения типа разрыва в точке находят односторонние пределы и . При этом, если оба односторонних предела конечны в точке , то эта точка называется точкой разрыва первого рода. Если по-крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Тема Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производной функции в точке х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

, (26)

где .

Другие обозначения производной: .

Таблица 3.

Таблица производных основных элементарных функций

1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7