Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Рисунок 1.

– фокусы, – половина расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

(20)

– большая полуось эллипса, – малая полуось эллипса, – центр эллипса

Для эллипса справедливо: c² = a² – b².

Число называется эксцентриситетом эллипса .

Если центр эллипса лежит в начале координат, то его уравнение примет вид:

(21)

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Рисунок 2.

Каноническое уравнение гиперболы:

(22)

– действительная полуось гиперболы, – мнимая полуось гиперболы, – центр гиперболы. и образуют основной прямоугольник гиперболы.

Для гиперболы справедливо: c² = a² + b².

Число называется эксцентриситетом эллипса .

Уравнения асимптот гиперболы:

.

Если центр гиперболы лежит в начале координат, то его уравнение примет вид:

(23)

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Рисунок 3.

Каноническое уравнение параболы

(24)

Таблица 1.

Виды уравнений параболы

С центром (0; 0)	С центром

Тема Функция. Предел и непрерывность функции.

Переменной называют величину , принимающую значения из некоторого множества значений Х.

Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение переменной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y.

При этом:

х – аргумент (независимая переменная);

у – значение функции (зависимая переменная);

– область определения функции;

– множество значений функции.

Функция , определенная на множестве , называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и , . График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция , определенная на множестве , называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и , . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что , .

Если ставится в соответствие единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции .

Функции и называются взаимно обратными функциями. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Функция называется возрастающей на множестве , если для любых значений из неравенства следует неравенство , то есть если большему значению аргумента из множества соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на множестве , если для любых значений из неравенства следует неравенство , то есть если большему значению аргумента из множества соответствует меньшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция монотонна на множестве , то она имеет обратную функцию .

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки х₀ , что для любой точки х  х₀ этой окрестности выполняется неравенство .

Если для любой точки х  х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство , то х₀ называется точкой минимума.

Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а значения y_max и y_min называются экстремумами функции.

Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого числа , можно указать такую окрестность точки , что при всех , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел функции обозначается , или при .

Если при только при , то называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

Пределы функции слева или только справа называются односторонними пределами (рис. 4).

Рисунок 4.

Если существуют оба односторонних предела и они равны, то существует предел :

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой при , если

Две бесконечно малые функции f(x) и g(x) при называются эквивалентными бесконечно малыми, если .

Таблица 2.