Тема Линейная алгебра: решение систем линейных уравнений.

Система из n линейных уравнений с n неизвестными

может быть записана в матричном виде AХ = В, где

– матрица коэффициентов системы,

– матрица-столбец неизвестных,

– матрица-столбец свободных членов системы,

Система из n уравнений с n неизвестными имеет единственное решение только в том случае, если главный определитель системы

Методы решения систем линейных уравнений.

1. Формулы Крамера

, i = 1,2,…,n

где - дополнительный определитель матрицы, отличающейся от матрицы A тем, что в ней столбец с номером i заменен на столбец В.

Возможные случаи:

	Система имеет единственное решение	Система совместна и определена
	Хотя бы один . Система не имеет решений.	Система несовместна
	Все . Система имеет бесконечное множество решений.	Система совместна, но неопределена

2. При помощи обратной матрицы.

,

где - матрица, обратная к .

3. Метод Гаусса.

Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы

к ступенчатому виду (получить нули под главной диагональю)

,

после чего осуществить обратный ход: по матрице, приведенной к ступенчатому виду составить систему уравнений и решить ее.

Элементарные преобразования матрицы:

1. перестановка строк;

2. умножение строки на число, отличное от нуля;

3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Тема Аналитическая геометрия

Расстояние между двумя точками А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В):

(1)

Деление отрезка в заданном отношении.

Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A, т.е. , то координаты точки C:

(2)

Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

(3)

Уравнение прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой:

(4)

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(5)

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку :

(6)

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

(7)

5. Уравнение прямой в отрезках:

(8)

Пусть на плоскости заданы две прямые:

и

Условие параллельности прямых на плоскости:

(9)

Условие перпендикулярности прямых:

(10)

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти по формуле:

, (11)

откуда .

Уравнение плоскости в пространстве

1. Общее уравнение плоскости:

(12)

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

(13)

Вектор называется нормальным вектором плоскости.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

(14)

4. Косинус угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями и вычисляется как косинус угла между нормальными векторами заданных плоскостей:

(15)

Уравнение прямой в пространстве

1. Каноническое уравнения прямой:

(16)

Вектор называется направляющим вектором прямой, он параллелен данной прямой.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

(17)

3. Косинус угла между двумя прямыми вычисляется как косинус угла между направляющими векторами данных прямых:

(18)

4. Условие перпендикулярности прямых:

, (19)

где , – направляющие векторы данных прямых.