2 Семестр

Тема Интегральное исчисление функции одной переменной.

Определенный интеграл.

Содержание темы: Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур; объемов тел вращения; длины дуги кривой.

Цели изучения темы: познакомиться с особенностями вычисления и применения определенного интеграла.

Задачи изучения темы: изучить особенности вычисления и применения определенного интеграла

Методические рекомендации по изучению темы: прочитать рекомендуемую литературу. Ответить на вопросы. При решении задач используйте образцы их решения, приведенные в учебной литературе.

Рекомендуемая литература: основная: [1-3].

Вопросы для самопроверки

1. Показать, что определенный интеграл есть предел интегральной суммы.

2. Пояснить геометрический смысл определенного интеграла.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

5. Сформулируйте правило вычисления определенного интеграла при замене переменной и интегрировании по частям.

6. Дать определение несобственного интеграла I и II рода.

7. Вычисление площадей плоских фигур.

8. Вычисление длины дуги плоской кривой.

9. Вычисление объемов тел вращения.

Тема Функции многих переменных

Содержание темы: Функции нескольких переменных (ФНП). Предел и непрерывность ФНП. Частные приращения и полное приращение функции. Частные производные ФНП. Частные дифференциалы и полный дифференциал ФНП. Частные производные высших порядков. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Цели изучения темы: изучить особенности исследования и применения ФНП

Методические рекомендации по изучению темы: прочитать рекомендуемую литературу. Ответить на вопросы. При решении задач используйте образцы их решения, приведенные в учебной литературе.

Рекомендуемая литература: основная: [1-3].

Вопросы для самопроверки

1. ФНП, основные понятия.

2. Предел функции двух переменных.

3. Непрерывность функции двух переменных

4. Частные производные первого и второго порядка.

5. Полный дифференциал и применение к приближенным вычислениям.

6. Градиент и производная по направлению.

7. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Тема Дифференциальные уравнения

Содержание темы: дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Частное и общее решения. Задача Коши. ДУ с разделяющимися переменными. Однородные ДУ первого порядка. Линейные ДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. Линейные ДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Общее решение однородного ДУ 2-го порядка. Решение ДУ уравнений 2-го порядка со специальной правой частью.

Цели изучения темы: познакомиться с различными способами решения дифференциальных уравнений и систем уравнений.

Методические рекомендации по изучению темы: прочитать рекомендуемую литературу. Ответить на вопросы. При решении задач используйте образцы их решения, приведенные в учебной литературе.

Рекомендуемая литература: основная: [1-3].

Вопросы для самопроверки

1. Дать определение дифференциального уравнения и сопутствующих понятий.

2. Решение уравнений с разделяющимися переменными.

3. Решение однородных ДУ.

4. Решение линейных ДУ методом Бернулли.

5. Решение ДУ высших порядков: понижение степени ЛДУ, ЛДУ однородных и специальной правой частью второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.

Тема Ряды

Содержание темы: Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Знакоположительные ряды, признаки сходимости сравнения, Коши и Даламбера, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Функциональные ряды, их сходимость. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Приложение степенных рядов для приближенного вычисления функций и определенных интегралов.

Цели изучения темы: узнать признаки сходимости рядов, научиться раскладывать произвольные функции в ряд, применять степенные ряды к приближенным вычислениям.

Методические рекомендации по изучению темы: прочитать рекомендуемую литературу. Ответить на вопросы. При решении задач используйте образцы их решения, приведенные в учебной литературе.

Рекомендуемая литература: основная: [1-3].

Вопросы для самопроверки

1. Числовые ряды: основные понятия.

2. Необходимый признак сходимости числового ряда.

3. Достаточные признаки сходимости числовых рядов: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

6. Функциональные ряды. Основные понятия.

7. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

8. Разложение функций в степенные ряды.

9. Приближенное вычисление значений функций.

10. Приближенное вычисление определенных интегралов.