Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика», 1 семестр

1. Вектор на плоскости. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в геометрической и координатной формах

2. Угол между векторами, косинус и синус угла. Признаки ортогональности и коллинеарности векторов.

3. Скалярное произведение векторов.

4. Вектор в п-мерном пространстве. Компланарность векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов в 3-мерном пространстве.

5. Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц.

6. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Умножение матриц, возведение в степень.

7. Свойства определителей.

8. Миноры и алгебраические дополнения.

9. Вычисление определителей.

10. Определители n-го порядка. Критерий равенства определителя нулю.

11. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда.

12. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

13. Система линейных алгебраических уравнений (основные понятия).

14. Решение СЛАУ методом Крамера.

15. Решение СЛАУ методом Гаусса.

16. Матричный способ решения СЛАУ.

17. Прямоугольная система координат на плоскости.

18. Прямая на плоскости. Угловой коэффициент. Уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через две точки, уравнение в отрезках.

19. Угол между прямыми на плоскости. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых.

20. Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов.

21. Прямоугольная система координат в пространстве.

22. Общее уравнение плоскости в пространстве, геометрический смысл коэффициентов.

23. Нормиро­ванное уравнение плоскости. Геометрический смысл его левой части.

24. Уравнения прямой в пространстве, направляющий вектор. Углы между прямыми и плоскостями. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве.

25. Кривые второго порядка. Окружность.

26. Эллипс.

27. Гипербола.

28. Парабола.

29. Определение функции и её свойства. Способы задания функции.

30. Основные элементарные функции.

31. Предел последовательности.

32. Предел последовательности.

33. Ограниченность функции, имеющей предел. Бесконечно малые, их связь с функциями, имеющими предел. Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших.

34. Теоремы о пределах.

35. Замечательные пределы. Число е.

36. Список эквивалентных. Замена на эквивалентные при вычислении предела.

37. Класс элементарных функций, их непрерывность. Классификация точек разрыва функции.

38. Задачи, приводящие к понятию производной.

39. Производная, её геометрический смысл. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

40. Линейные свойства производной. Производная суммы, произведения и частного.

41. Производная сложной и обратной функции.

42. Таблица производных

43. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

44. Дифференциал, его геометрический смысл. Производная как отношение дифференциалов.

45. Локальный максимум и минимум. Экстремум. Необходимый признак экстремума (теорема Ферма). Задачи отыскания наибольшего и наименьшего значения функции.

46. Критерии возрастания, убывания, константы. Достаточный признаки экстремума по первой производной.

47. Основные теоремы дифференцирования.

48. Достаточный признак экстремума функции по второй производной.

49. Формула Тейлора. Разложение в ряд Тейлора элементарных функций.

50. Схема исследования и построения графика функции.

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика», 2 семестр

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной интегрирования. Список формул интегрирования элементарных функций.

2. Интегрирование по частям. Интегралы от простейших рациональных функций.

3. Понятие определенного интеграла. Линейные свойства.

4. Формула Ньютона - Лейбница.

5. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

6. Приложения определенного интеграла в геометрии и экономике.

7. Понятие несобственного интеграла.

8. Функция многих переменных. Линии и поверхности уровня.

9. Предел и непрерывность ФНП.

10. Частные производные.

11. Градиент функции. Производная по направлению.

12. Экстремум, необходимые и достаточные условия эктремума ФНП.

13. Понятие дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Частные и общее решения.

14. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными,

15. ДУ однородные первого порядка.

16. ДУ линейные первого порядка (метод Бернулли).

17. ДУ Бернулли.

18. Задача Коши. Теоремы существования и единственности решения для уравнений 1-го и 2-го порядка.

19. Линейные уравнения 2-го порядка.

20. Структура общего решения линейного однородного уравнения.

21. Уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение в случае вещественных корней характеристического уравнения.

22. Характеристическое уравнение с комплексными корнями.

23. Алгоритм общего решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью.

24. Решение неоднородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.

25. Принцип наложения решений.

26. Понятие числового ряда.

27. Какой ряд называется сходящимся ( расходящимся) ?

28. Свойства сходящихся рядов.

29. Необходимый признак сходимости рядов.

30. Достаточный признак расходимости рядов

31. Признаки сравнения

32. Признак Даламбера.

33. Признак Коши.

34. Интегральный признак.

35. Ряды с членами произвольного знака.

36. Абсолютная сходимость.

37. Признак Лейбница.

38. Понятие степенного ряда.

39. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда.

40. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.

Методические указания к выполнению и оформлению контрольной работы:

1. В первом семестре выполняются контрольные работы №1 и №2. Во втором семестре выполняются контрольные работы №3 и №4.

2. В контрольной работе используются два параметра M и N. Параметр M равен предпоследней цифре номера зачетной книжки, а параметр N равен последней цифре. Например, для студенческого билета номер 147 N = 7, M = 4.

3. Контрольная работа оформляется в школьной тетради 18 страниц.

4. На титульном листе указываются значения параметров M и N. Решения задач должны следовать в том порядке, в каком они предложены.

5. Каждая задача должна начинаться с условия и заканчиваться ответом.

6. Решение каждой задачи должно сопровождаться подробными пояснениями.