Указания

1) Оптимальные чистые стратегии следует находить, используя: в п. 3, а) критерий Байеса; в п. 3, б) критерий Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (величину параметра в критерии Гурвица принимать равной 0,8).

2) Рассмотреть четыре возможные чистые стратегии правления банка.

Решение. 1. В качестве статистика выступает правление банка, которое может принять одно из следующих решений:

– приобрести по одной акции каждой компании (6 + 5 + 5 = 16) – стратегия A₁,

– приобрести одну акцию первой компании и две акции второй (6 + 2∙5 = 16) –стратегия A₂;

– приобрести одну акцию первой компании и две акции третьей (6 + 2∙5 = 16) – стратегия A₃;

– приобрести одну акцию второй компании и две акции третьей (5 + 2∙5 = 15 < 16) – стратегия A₄.

(В указании к условию задачи рекомендуется число способов формирования портфеля акций ограничить четырьмя).

Второй играющей стороной – природой – является возможное состояние рынка ценных бумаг на конец года, которое может быть R₁ и R₂.

Итак, описанная ситуация представляет статистическую игру.

2. Рассчитаем элементы платежной матрицы.

Так, в ситуации (A₁, R₁) элемент а₁₁ вычисляется следующим образом: от одной акции компании A₁ банк получит прибыль 6 0,10 = 0,6 денежных единиц, от одной акции компании А₂ – 5 0,14 = 0,7 денежных единиц и одной акции компании А₃ – 5 0,1=0,5 денежных единиц; в итоге суммарная прибыль банка при его стратегии A₁ и состоянии рынка ценных бумаг в конце года R₁ составит а₁₁ = 0,6 + 0,7 + 0,5 = 1,8. Аналогично определяются и другие элементы платежной матрицы.

Таблица 15

Количество приобретенных акций	Стратегия статистика Ai	Состояние рынка
		R1	R2
1–A1 1–А2 1–А3	A1	1,8	1,87
1–A1 2–А2	A2	2	1,82
1–А1 2–А3	A3	1,6	1,92
1–А2 2–А3	A4	1,7	1,75
	pj	0,6	0,4

3. А) в качестве оптимальной по критерию Байеса, принимается чистая стратегия a1, при которой максимизируется средняя прибыль т. Е. Обеспечивается

, ( ).

= 1,8∙0,6 + 1,87∙0,4 = l,828,

= 2∙0,6 + 1,82∙0,4 = 1,928,

= 1,6∙0,6 + 1,92∙0,4 = 1,728,

= 1,7∙0,6 + 1,75∙0,4 = 1,72,

= max{1,828; 1,928; 1,728; 1,72} = 1,928.

Следовательно, правление банка должно приобрести одну акцию компании A₁ и две акции А₂ .

б) Пусть вероятности состояния рынка R₁ и R₂ на конец года равны, т. е. p₁ = p₂ = 0,5. Тогда можно воспользоваться критерием Лапласа, в соответствии с которым оптимальной считается стратегия, обеспечивающая

= max .

= 0,5∙(1,8 + 1,87) = 1,835;

= 0,5∙ (2 + 1,82) = 1,91;

= 0,5∙(1,6 + 1,92) = 1,76;

= 0,5∙(1,7 +1,75) = 1,725;

= mах {1,835; 1,91; 1,76; 1,725} = 1,91.

Следовательно, опять в качестве оптимальной надо взять чистую стратегию A₂, т.е. правление банка должно приобрести одну акцию компании A₁ и две акции компании A₂.

в) Пусть о вероятностях состояния рынка ценных бумаг R₁ и R₂ на конец года ничего определенного сказать нельзя. В этом случае можно воспользоваться критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Максиминный критерий Вальда. Это критерий крайнего пессимизма. В соответствии с этим критерием в качестве оптимальной рекомендуется выбирать ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш, т. е. максиминную стратегию.

= max min = max , = min ,

i j i j

=1,8; =l,82; =l,6; =l,7;

= max = max (l,8; 1,82; 1,6; 1,7) = 1,82 = .

i

Следовательно, по критерию Вальда оптимальной является также чистая стратегия A₂ (необходимо приобрести одну акцию A₁ и две акции компании А₃).

Критерий Сэвиджа (минимаксного риска). Этот критерий, так же как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма. Согласно этому критерию рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение.

= min max .

i j

Построим матрицу рисков , где , где – максимально возможный выигрыш статистика при состоянии R_j (максимальный элемент j-ого столбца платежной матрицы), т. е. = max .

Таблица 16

	R1	R2	max j
A1	0,2	0,05	0,2
A2	0	0,1	0,1
A3	0,4	0	0,4
A4	0,3	0,17	03

=min max =min {0,2; 0,1; 0,4; 0,3} = 0,1.

i j

Следовательно, и по критерию Сэвиджа оптимальной будет чистая стратегия A₂.

Критерий Гурвица. Этот критерий называют критерием обобщенного максимума или пессимизма-оптимизма, он имеет вид:

S=max{ min + (1 – ) mах } = mах ,

i j j i

где : 0 1; в нашем случае = 0,8. Все промежуточные вычисления будем проводить в таблице 17:

Таблица 17

	R1	R2	min j	0,8min j	mах j	0,2 mах j	hi
A1	1,8	1,87	1,8	1,44	1,87	0,37	1,81
A2	2	1,82	1,82	1,46	2	0,4	1,86
A3	1,6	1,92	1,6	1,28	1,92	0,38	1,66
A4	1,7	1,75	1,7	1,36	1,75	0,35	1,71

max h_i = max {1,81; 1,86; 1,66; 1,71} = 1,86.

i

Следовательно, по критерию Гурвица оптимальной чистой стратегией является стратегия A₂ (т. е. наибольшую прибыль получит банк, если правление банка приобретет одну акцию компании A₁ и две акции компании А₂).

Замечание. В платежной матрице (таблица 15) стратегия A₄ является доминируемой по отношению к другим стратегиям, поэтому её можно было сразу исключить из рассмотрения.

31