2) Peшим полученную задачу линейного программирования симплексным методом. Составим начальную симплексную таблицу 8.

Таблица 8

БП	СБ	Ао	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Θ
			10	12	14	12	0	0	0
х5	0	90	3	1	2	2	1	0	0	45
х6	0	80	2	3	4	5	0	1	0	20
х7	0	100	3	6	4	3	0	0	1	25
Zj – Cj		0	–10	–12	–14	–12	0	0	0

Полученный план (0,0,0,0,90,80,100) является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке Z_j – C_j все оценки неположительные. Наибольший по модулю отрицательный элемент (– 14) индексной строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную х₃. Столбец, соответствующий выбранной переменной, называется разрешающим столбцом. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения. Для этого нужно элементы столбца А₀ разделить на соответствующие элементы разрешающего столбца и выбрать наименьшее из них:

,

следовательно, из базиса нужно вывести переменную х₆.

Переходим к новому опорному плану, выполнив симплексные преобразования. Вычисления заносим в таблицу 9.

Таблица 9

БП	СБ	Ао	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Θ
			10	12	14	12	0	0	0
х5	0	50	2	– 0,5	0	– 0,5	1	– 0,5	0	25
х3	14	20	0,5	0,75	1	1,25	0	0,25	0	40
х7	0	20	1	3	0	– 2	0	– 1	1	20
Zj – Cj		280	– 3	– 1,5	0	5,5	0	3,5	0

План (0; 0; 20; 0; 50; 0; 20) не является оптимальным так, как есть отрицательные индексные оценки, и поэтому переходим к следующему нехудшему опорному плану. Введем в базис х₁, выведем – х₇. Переход к новому опорному плану выполним в таблице 10.

Таблица 10

БП	СБ	Ао	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Θ
			10	12	14	12	0	0	0
х5	0	10	0	– 6,5	0	3,5	1	1,5	– 2	2,86
х3	14	10	0	– 0,75	1	2,25	0	0,75	– 0,5	4,44
х1	10	20	1	3	0	– 2	0	– 1	1	–
Zj – Cj		340	0	7,5	0	– 0,5	0	0,5	3

Полученный план (20; 0; 10; 0; 10; 0; 0) не является оптимальным так, как есть отрицательные индексные оценки, и поэтому переходим к следующему нехудшему опорному плану. Введем в базис х₄, выведем – х₅. Переход к новому опорному плану выполним в таблице 11.

Таблица 11

БП	СБ	Ао	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Θ
			10	12	14	12	0	0	0
х4	12	2,86	0	– 1,86	0	1	0,29	0,43	– 0,57
х3	14	3,57	0	3,43	1	0	– 0,64	– 0,21	0,79
х1	10	25,71	1	– 0,71	0	0	0,57	– 0,14	– 0,14
Zj – Cj		341,4	0	6,57	0	0	0,14	0,71	2,71

Так как в индексной строке нет отрицательных оценок, то план (25,71; 0; 3,57; 2,86; 0; 0; 0) является оптимальным. Он является единственным, так как все свободные переменные имеют оценки, отличные от нуля.

Максимальная прибыль предприятия составит 341,43 денежные единицы, если оно выпустит 25,71 весовых единиц продукции первого вида, 3,57 весовых единиц третьего вида и 2,86 весовых единиц продукции четвертого вида, а продукцию второго вида вообще выпускать не будет. Так как , то все виды ресурсов при выполнении оптимального плана будут израсходованы полностью.

3) Составим модель двойственной задачи. Обозначим через у_i ≥ 0 цену единицы сырья i-го вида. Модель двойственной задачи имеет вид

;

Из первой теоремы двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи. Компоненты оптимального плана двойственной задачи находятся в индексной строке последней симплексной таблицы уже решенной задачи. Запишем каноническую форму математической модели двойственной задачи, введя дополнительные (балансовые) переменные

;

.

Между переменными двойственных задач устанавливается соответствие

Учитывая это соответствие, выписываем из индексной строки последней симплексной таблицы двойственные оценки. Эти оценки являются компонентами оптимального плана двойственной задачи. Запишем оптимальный план двойственной задачи

 = (0,14; 0,71; 2,71; 0; 6,57; 0; 0).

4) Оценки для первого, второго и третьего видов сырья положительные, что указывает, что эти виды сырья наиболее дефицитные и используются полностью. Увеличение объема сырья первого вида на одну весовую единицу позволило бы получить оптимальный план, для которого доход увеличился бы на 0,14 денежные единицы. Увеличение объема сырья второго и третьего вида на одну весовую единицу позволило бы получить оптимальный план, для которого доход увеличился бы на 0,71 и 2,71 ден. единицы соответственно.

Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану нецелесообразно выпускать. Так как  = 6,75, то это говорит о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на производство одной единицы продукции второго вида (в прикидочных ценах), превышает стоимость единицы этой продукции (с₂ = 12) на 6,75 ден.ед. Следовательно, в случае необходимости ее производства для рентабельности предприятия, цена на нее должна быть не менее 18,75 ден.ед.

ПРИМЕР 8. Имеется три поставщика и четыре потребителя некоторой продукции. Количество груза а_i, которое может отгрузить поставщик , стоимость (тариф) перевозки из пункта i в пункт j единицы груза c_ij, и потребности потребителей в грузе b_j, j =  , заданы в таблице 12.

Таблица 12

Поставщики и их возможности		Потребители и их потребности
		100	60	150	40
	80	2	5	2	1
	160	4	1	4	2
	110	3	6	3	4

Составить экономико-математическую модель задачи и найти методом потенциалов оптимальный план перевозки груза, при котором общие транспортные затраты будут наименьшими.

Решение. Строим математическую модель задачи. Через х_ij обозначим объем продукции, доставленный от поставщика A_i (i = l,2,3) потребителю B_j ( ). Отметим, что в данном случае сумма количества продукции, которую могут отгрузить все поставщики, совпадает с суммой потребностей потребителей:

100 + 60 + 150+40 = 80 + 160 + 110 = 350.

Значит, задача закрытого типа и имеет решение. Математическая модель задачи принимает вид:

.

Строим начальный опорный план методом «минимального элемента». Распределение груза начинаем с клетки с наименьшим тарифом. Это распределение представлено в таблице 13.

Таблица 13

Bj Ai	В1	В2	Вз	В4	аi
А1	2 + 40	5	2	1 – 40	80	0
А2	4	1 60	4 – 1 00	2 * +	160	2
A3	3 – 60	6	3 + 50	4	110	1
	100	60	150	40	350
	2	–1	2	1

Число занятых клеток удовлетворяет условию m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6. Из занятых клеток не образуется замкнутый цикл. Следовательно, план будет опорным. Построенному опорному решению отвечают затраты:

Z₁ = 40∙2 + 40∙1 + 60∙1 + 100∙4 + 60∙3 + 50∙3 = 910.

Проверим полученный опорный план на оптимальность. Для этого i-ой строке и j-ому столбцу ставим в соответствие числа u_i и v_j (потенциалы). Для каждой базисной переменной x_ij потенциалы должны удовлетворять условию u_i + v_j = c_ij. Получаем систему:

u₁ + v₁ = 2, u₁ + v₄ = l, u₂ + v₂ = 1, u₂ + v₃ = 4, u₃ + v₁ = 3, u₃ + v₃ = 3.

Так как система состоит из 6 уравнений, а неизвестных 7,то, чтобы, найти численное решение этой системы, одно из неизвестных зададим произвольно, тогда остальные переменные найдутся из системы однозначно.

Пусть U₁ = 0, тогда v₁ = 2, v₄ = 1, v₂ = – 1, v₃ = 2, u₂ = 2, u₃ = 1.

Теперь для небазисных переменных (свободных клеток) найдем оценки

Sij = cij – (ui + vj):
S12 = 5 – (0 – 1) = 6	S24 = 2 – (1 +2) = – 1 < 0
S13 = 2 – (2 + 0 ) = 0	S32 = 6 – (1 – 1) = 6
S21 = 4 – (2 + 2) = 0	S34 = 4 – (1 +1) = 2

Согласно критерию оптимальности опорного плана (все оценки S_ij неотрицательные) делаем вывод, что построенный план не оптимален, так как среди оценок есть отрицательные.

В базис введем перспективную переменную х₂₄ (отвечающую наибольшей по модулю отрицательной оценке) и строим замкнутый цикл с вершинами в загруженных клетках. Присваиваем клеткам в вершинах цикла поочередно по часовой стрелке знаки "+" и "–", начиная с клетки (2,4), которой присваиваем знак "+".

Выбираем наименьшее значение из клеток со знаком "–", а именно, min (40, 60, 100) = 40 и перераспределим продукцию вдоль замкнутого цикла: прибавляя 40 к значениям в клетках со знаком "+" и вычитая из значений в клетках со знаком "–". В результате приходим к таблице 14

Таблица 14

Bj Ai	В1	В2	Вз	В4	аi	ui
А1	2 80	5	2	1	80	– 2
А2	4	1 60	4 60	2 40	160	0
A3	3 20	6	3 90	4	110	– 1
	100	60	150	40	350
	4	1	4	2

Полученному решению отвечают затраты:

Z₂ = 80∙2 + 60∙1 + 60∙4 +40∙2 + 20∙3 + 90∙3 = 870.

Проверяем полученный план на оптимальность. Для каждой базисной переменной x_ij составим систему уравнений для определения потенциалов:

u₁ + v₁ = 2, u₂ + v₂ = 1, u₂ + v₃ = 4, u₂ + v₄ = 2, u₃ + v₁ = 3, u₃ + v₃ = 3,

Пусть u₂ = 0, тогда v₂ = 1, v₃ = 4, v₄  = 2, u₁ = – 2, u₃ = – 1, v₁ = 4.

Теперь для небазисных переменных найдем оценки

S12 =  5 – (1 – 2) = 6	S14 = 1 – (2 – 2) = 1
S13 = 2 – (4 – 2 ) = 0	S32 = 6  – (1 – 1) = 6
S21 = 4 – (4 + 0) = 0	S34 = 4 – (2 – 1) = 4

Все оценки свободных клеток неотрицательны, следовательно, план

является оптимальным. По этому плану перевозок поставщик А₁ отправляет 80 ед. продукции потребителю В₁ , поставщик А₂ – 60 ед. потребителю В₂, 60 ед. потребителю B₃ и 40 ед. потребителю В₄; поставщик A₃ – 20 ед. потребителю B₁ и 90 ед. потребителю В₃.

Полученному решению отвечают минимальные затраты:

Z₂ = 80∙2 + 60∙1 + 60∙4 + 40∙2 + 20∙3 + 90∙3 = 870.

ПРИМЕР 9. Банк может приобрести на сумму b = 16 денежных единиц акции компании A₁ номинальной стоимости a₁ = 6 денежных единиц, компании A₂ номинальной стоимости a₂ = 5 денежных единиц, компании A₃ номинальной стоимости a₃ = 5 денежных единиц. На конец года рынок ценных бумаг может оказаться в одном из двух состояний: R₁ и R₂.

Специалисты установили, что дивиденды компании A_i для состояния рынка R_j на конец года составят d_ij % от номинальной стоимости ( ): d₁₁= 10; d₁₂= 12; d₂₁= 14; d₂₂= 11; d₃₁= 10; d₃₂= 12.

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и определить игроков, указав их возможные стратегии;

2) составить платежную матрицу;

3) сформировать портфель акций банка, обеспечивающий как можно большую прибыль.

Учитывать следующие предположения:

а) известны вероятности p₁ и p₂ состояния рынка R₁ и R₂ на конец года;

б) о вероятностях состояния рынка R₁ и R₂ на конец года ничего определенного сказать нельзя.