6. Емтиханға дайындық үшін сұрақтар тізімі

1-блок

1. Сандық тізбектердің шектері және оның қасиетттері.

2. Тізбек, тізбектің жинақтылығы және оның негізгі қасиеттері.

3. Функция ұғымы.Функцияның шегі және функцияның үзіліссіздігі.

4. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері.

5. Лагранж, Коши теоремалары дәлелдеуімен.

6. Бір айнымалылы функциялар үшін Тейлор формуласы.

7. Анықталған интеграл ұғымы.

8. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теорема.

9. Сандық қатарлар. Сандық қатарлардың жинақтылығы және оның қасиеттері.

10. Функциялық қатарлар, дәрежелік қатарлар.

11. Функциялық қатарлардың жинақтылығының қажетті шарты.

12. Екі еселі интеграл үшін Грин формуласы.

13. Комплекс сандардың геометриялық бейнеленуі, модулі және аргументі.

14. Голоморфты функция ұғымы.

15. Комплекс айнымалы функцияларды дифференциялдау, Коши-Риман шарты.

16. Лоран қатары, елеулі ерекше нүкте.

17. Шегерімдер және олар туралы теоремалар.

18. Кошидің интегралдық теоремасы.

19. Кошидің интегралдық формуласы.

20. Бүтін функциялардың нөлдері туралы Руше теоремасы.

21. Метрикалық кеңістіктер және оларға мысалдар.

22. Метрикалық кеңістіктерді толықтыру. Қысып бейнелеу принципі.

23. Топологиялық кеңістіктер және олардың мысалдары.

24. Сызықтық және сызықтық нормаланған кеңістіктер және олардың мысалдары.

25. Сызықтық функционалдар.

26. Банах және Гильберт кеңістіктері және олардың мысалдары.

27. Гильберт кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі туралы Рисс теоремасы.

28. Лебег интегралы ұғымы.

29. Сызықтық операторлар. Кері оператор.

30. Түйіндес кеңістіктер.

31. Компакті операторлар және оның қасиеттері.

32. Стилтьес интегралы.

33. Өлшемді жиындар. Өлшемді функциялар. Лебег өлшемдері.

2-блок

34. Қарапайым сызықтар. Жалпы сызықтар. Регулярлы сызықтар.

35. Скаляр аргументті векторлық функция.

36. Параметрге тәуелді қисықтың иілу үйірі.

37. Қисық доғасының ұзындығы. Қисықтың қисықтығы. Қисықтар үйірінің көмкерушісі.

38. Қарапайым және жалпы беттер. Регулярлы беттер.

39. Беттің жанасушы жазықтықтары.

40. Беттегі қисықтың ұзындығы. Беттегі қисықтардың арасындағы бұрыш.

41. Бетте жататын қисықтардың қисықтығы. Асимптотикалық сызықтар. Түйіндес бағыттар.

42. Оқиғаның классификацииясы. Ықтималдықтың классикалық және геометриялық анықтамалары.

43. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту фомуласы.

44. Оқиғалардың тәуелсіздігі. Тәуелсіз сынақтар.

45. Толық ықтималдылық формуласы. Байес формуласы.

46. Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары.

47. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі. Дисперсия.

48. Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының қасиеттері.

49. Қайталанатын тәуелсіз сынақтар, Бернулли, Пуассон формуласы. Пуассон теоремасы.

50. Үлкен сандар заңдары. Марков,Чебышев теңсіздіктері.

51. Орталық шектік теорема.

52. Матрицалар. Матрицаларға негізгі амалдар және олардың қасиеттері.

53. Анықтауыштар және олардың негізгі қасиеттері. Кері матрица ұғымы.

54. Матрицаның алгебралық толықтаушысы, рангі, миноры, базистік минор туралы теорема.

55. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің жалпы әдістері. Кронекер-Капелли теоремасы.

56. Сызықтың кеңістік ұғымы және оның базисі. Өлшемді ішкі кеңістіктер және оның өлшемдері.

57. Евклид кеңістігінің ұғымы, комплексті Евклид кеңістігі, Коши-Буняковский теңсіздігі.

58. Сызықты операторлар ұғымы, олардың негізгі қасиеттері, меншікті мәндері және меншікті векторлары.

59. Сызықты түйіндес операторлар және олардың қасиеттері.

60. Унитар және нормал операторлар.

61. Бисызықты және квадраттық форма, квадраттық форманы канондық түрге келтіру.

62. Топ ұғымы. Нормалды ішкі топтар және оның қасиеттері.

63. Сақина ұғымы. Идеал. Сақинаның гомоморфизмдері.

64. Өріс ұғымы. Өрістің кеңеюі,ақырлы өрістер.

65. Тікбұрышты Декарт координаталар жүйесі, полярлық координаталар, комплекс сандар, оларды кескіндеу.

66. Вектор ұғымы, оларға қолданылатын амалдар, сызықты тәуелсіздік, сызықты тәуелділік, базис, афиндік кординаталар жүйесі, нүктенің кординатасы.

3-блок

67. Вектордың скалярлық, векторлық және аралас көбейтінділері, олардың геометриялық мағыналары.

68. Жазықтағы түзулердің теңдеулері, нүктеден түзуге дейінгі қашықтық, түзудің өзара орналасулары.

69. Кеңістіктегі түзудің теңдеулері және олардың өзара орналасуы, 3 өлшемді кеңістіктегі жазықтықтардың теңдеулері және олардың өзара орналасулары.

70. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар және олардың жалпы қарапайым теңдеулері, классификациясы.

71. Кеңістіктегі екінші ретті беттер, жалпы теңдеулері және қарапайым теңдеулері, классификациясы.

72. Сызықтық оператор үшін полярлық жіктелу туралы теорема.

73. Өз-өзіне түйіндес операторлардың спектралды жіктелуі.

74. Матрицаны Жордан түріне келтіру.

75. Дифференциялдық теңдеулердің негізгі ұғымдары. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер.

76. Біртекті теңдеулер және бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер.

77. Коши есебінің шешімінің бар және жалғыз болуы туралы локалдық теорема.

78. Толық дифференциалдық теңдеу, интегралдық көбейткіш.

79. Коэфициенттері тұрақты n-ретті біртекті дифференциалдық теңдеудің іргелі шешімдерін құру.

80. Коэфиценттері тұрақты n-ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шешу.

81. Сызықтық теңдеулердің жалпы қасиеттері, функциялардың сызықтық тәуелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі.

82. Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі, шешімдерінің қасиеттері.

83. Остроградский-Лиувилль формуласы.

84. Біртекті емес сызықтық жүйелер. Тұрақтыларды вариациялау әдісі (Лагранж әдісі) .

85. Айталық метрика болсын. Онда теңдігімен анықталған -функциясы да метрика болатындығын көрсет.

86. Үш элементтен тұратын жиында топология анықта.

87. -аралығында анықталған үзіліссіз функциялар кеңістігінің Евклидтік кеңістік болмайтындығын көрсет.

(Нұсқау: айталық болсын.)

88. аралығында анықталған функциясы берілсін. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теореманы қолданып, осы функцияның кесіндісінде орта мәнін тап.

89. Айталық, функциясы сандық өсте берілсін. Осы функция арқылы Риман интегралы мен Лебег интегралының айырмашылығын көрсет.

90. Стилтьес интегралын есепте: ,

мұндағы

91. Саналымды жиындардың Лебег өлшемі нөлге тең болатынын нақты бір мысалмен көрсет.

92. функционалдық тізбегі метрикалық кеңістігінде фундаменталды тізбек емес екендігін көрсет.

93. Кез-келген нормаланған кеңістік метрикалық кеңістік болатынын дәлелде.

94. бейнелеуі болсын, яғни аралығында үзіліссіз функциялар кеңістікті өзіне бейнелеу және сығылатын бейнелеу болатындығын көрсет.

95. аралығында үзіліссіз фунциялар жиыны нормаланған кеңістік құрайды, оны деп белгілейік. Осы кеңістіктің толық кеңістік болатындығын көрсет.

96. фунциялар жүйесі комплекс кеңістігінде ортонормалдық жүйе болатындығын көрсет. Мұндағы аралығында квадраттары қосындыланатын функциялардың кеңістігі.

97. Гильберт кеңістігі болсын. кеңістіктің ішкі кеңістігі болсын. Онда Гильберт кеңістігінің кез-келген элементін (мұндағы ) түрінде жіктеп жазуға болатындығын және ол жазу жалғыз болатындығын көрсет.

98. Айталық болсын. және функциялары жиынында өлшемді функциялар болсын және болсын . болатындығын және

теңсіздігін дәлелдеу керек. Мұндағы .

99. Айталық функциясы аралығында монотонды болсын. болатындығын дәлелде және оның вариациясын тап. мұндағы аралығындағы барлық өзгеруі шенелген функциялардың жиыны.

100. Айталық функциясы аралығында анықталған болсын. Осы функциясын аралығында кемімейтін екі функцияның айырымы түрінде жазылатынын көрсет.