Вопрос 27: Векторная диаграмма и сложение одинаково направленных гармонических колебаний

С ложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы . Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды . Для этого из произвольной точки О , выбранной на оси Ох, под углом ϕ ₀

, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний , то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ох и принимать значения от – А до + А , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

и (5.2.1)

Представим оба колебания на векторной диаграмме . Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор . Проекция этого вектора на ось Ох равна сумме проекций слагаемых векторов x = х₁ + x₂ , следовательно, вектор представляет собой результирущее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды по теореме косинусов Так как угол между векторами и равен , то , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно , что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом , тело , участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты , также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой .

28) Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Пусть Мт участвует в 2-ух взаимно перпендик. колеб-ях с одинак-ой ω, ϕ₀-разность фаз x=A₁cos(ωt)-без начал. Фазы и y=A₂cos(ωt + ϕ₀), x/A₁₌ cos(ωt); ипользуем ф-лу cos суммы 2-ух углов: y/A₂= A₁cos(ωt) A₁cos(ϕ₀)-sin( ωt)sin(ϕ₀) ; После преобраз-я получим ур-е траектории результир-щего движ-я МТ . В общем случае – МТ движ-ся по элипсу с произвольно ориентир-ыми осями: (24) . Рез-т зависит от амплитуды колебаний и раз-ти фаз между ними. 1. ϕ₀₌П/2+Пn(n= 0±2) ; x²/A₁²+y²/A²₂=1 а) A₁≠ A₂- МТ движ по элипсу с цкнтром в т-ке x,y=0 ; A₁<A₂ б) A₁= A₂- МТ движ-ся по окруж. С центром в т-ке x,y=0 2. ϕ₀₌Пn (n= 0±1) ; x²/A₁²+y²/A²₂ -2xy/ A₁ A₂=0 Если частоты складыв-мых взаим. Перпен-ых кол-ий различ.,то замкнутая траектория резул-щего колеб-я сложна. Замкнутые трак-ии,прочерчиваемые т-ой, соверш-щей одноврем. 2 взаим. Перпенд-ых колеб-я,наз. Фигурами Лиссажу. Их вид зависит от амплитуд,частот и раз-ть фаз.