24. Момент инерции мт и атт. Теорема Штейнера. Расчет момента инерции тонкого стержня.

момент инерции АТТ отн. оси вращ. Z.

: момент инерции МТ отн.оси.

Физ.смысл: момент инерции тела явл. Мерой инертности тела при его вращательном движении, причём момент инертности любой оси характеризует его независимо от того, покоится тело или движется.

Свойства момента инерции:

1. Теорема Штейнера:

2. Правило сложения : момент инерции системы отн.некоторой оси=сумме моментов инерций частей этой системы отн.этой же оси.

Расчёт момента инерции системы тонкого стержня:

Момент инерции тонкого стержня отн.оси АА’, проходящей через середину. Длина-l, масса-m.

1. Разделим на малые элементы длины dx с массой на расстояние x от оси. Момент инерции элемента:

2. Интегрируем в пределах от 0 до и удваиваем:

Вопрос 25 Работа при вращательном движении. Кинетическая энергия вращения МТ, системы МТ, АТТ вокруг оси. Полная кинетическая энергия АТТ. Закон изменения кинетической энергии при вращательном движении.

Работа , совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет

на изменение его кинетической энергии: δA = dК . Подставим в последнее выражение уравнение (4.9.3 см. ниже) и продифференцируем , учитывая, что , получим : Тогда элементарная работа , совершаемая силами, приложенными к телу : и полная работа при повороте тела на угол φ за время t : Линейная скорость элементарной массы m_i равна υ_i = ωR_i , где R_i − расстояние от элементарной массы до оси вращения. Кинетическая энергия этой элементарной массы получается выражением . Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энергий его частей, т.е. . Так как величина есть момент инерции тела относительно оси вращения, то кинетическая энергия тела , вращающегося вокруг неподвижной оси (4.9.3)!!!

Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью , равной скорости центра масс , и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела , т. е.

Вопрос 26 : Свободные гармонические механические колебания и их характеристики. Математический и физический маятники.

Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса . Уравнение гармонических колебаний имеет вид x Характеристики: 1) Смещение x − это величина , характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени . 2) Амплитуда колебаний А − это величина , равная максимальному отклонению тела от положения равновесия .

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени , через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [ T ] = 1 с . 4) Частота колебаний ν − это величина , равная числу колебаний , совершаемых в единицу времени ( за 1 секунду). Единица измерения [ ν ]= 1 Гц. Частота определяется по формуле 5) Циклическая частота ω − это величина , равная числу полных колебаний , совершающихся за 2π секунд . За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2 π циклов колебаний , [ ω]= с^-1. Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6)Фаза колебаний ωt+φ0 – фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени . 7) Начальная фаза φ0 − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t=0.

1 ) Математический маятник − это идеализированная система состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M, равный по величине mglsinφ . Он имеет такое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия . Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид : M=mglsinφ. Применим основное уравнение динамики вращательного движения M=Iε, где I=ml² – момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ ≈φ. Получим То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой Период колебаний математического маятника

2) Физический маятник − это твердое тело , совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела . При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия . Этот момент равен . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса. Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ. Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение физического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний физического маятника