45. Временное и стационарное уравнение Шредингера. Решения.

Общее уравнение Шредингера называют также уравнением Шредингера, зависящим от времени. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. уравнение должно быть уравнением относительно волновой функцией Ψ(х, у, z, t). Также это уравнение должно обладать некоторыми чертами, присущими волновому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц.

Стационарное уравнение Шредингера.

Функции , являющиеся решениями уравнения, называются собственными функциями. Уравнения в ряде случаев имеют решения не при всех значениях энергии Е, а лишь при определенных ее значениях. Значения энергии Е, при которых имеет место решение уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии. Собственные значения энергии Е могут образовывать как не-прерывный, так и дискретный ряд значений энергии. В первом случае говорят о непрерывном, во втором − о дискретном спектре энергии.

46. Решение уравнения Шредингера для свободной частицы.

Рассмотрим волновую функцию свободной микрочастицы, которая имеет определенные значения импульса р и энергии Е, т. е. движется со скоростью υ, например, вдоль оси Ох (р_у = р_z = 0). Так как из опытов следует, что параллельный пучок элементарных частиц обладает свойствами плоской волны распространяющейся в направлении скорости частиц, то рассмотрим в общем виде плоскую волну распространяющуюся вдоль Ох. Запишем волновую функцию свободной частицы в комплексном виде по аналогии с уравнением плоской волны.

Ψ= =Acos(wt-kx) – isin(wt-kx) (8.6.1)

Преобразуем выражение (8.6.1), используя формулы взаимосвязи импульса р и энергии Е частицы (корпускулярных характеристик) с волновым числом k и циклической частотой ω (с волновыми характеристиками частицы)

E= = ⇒ ω= = (8.6.2)

(8.6.3)

Подставим (8.6.2−8.6.3) в уравнение (8.6.1) и получим

(8.6.5)

Применим к ψ оператор Лапласа и получим уравнение Шредингера для свободной частицы

Δψ+

Вопрос 47: Уровни энергии и волновая функция частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме.

Волновая функция и энергия.

48. Квантовый гармонический осциллятор.

Квант. Гарм. Осциллятор - определяется как повед. частиц m с пот. энергией U(x)=

Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид

(4.77)

     где   - собственная частота классического гармонического осциллятора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме.

     В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера  с потенциальной энергией

     

(4.78)

Выражая, согласно, энергию осциллятора   через   , получаем

     

49. Прохождение частицы через барьер. Туннельный эффект.

Туннельный эффект (туннелирование) – преодоление частицей потенциального барьера, когда её энергия Е меньше высоты барьера U₀.

При Е > U₀ есть вероятность того, что частица отразится от барьера и будет двигаться в другую сторону.

При Е < U₀ частица окажется в области x > l, где l – ширина барьера.

Вероятность проникновения электрона через потенциальный барьер зависит от высоты барьера U₀, его ширины l, где m – масса частицы, E – ее энергия, h – постоянная Планка (ћ = h/2π).

Коэффициент прозрачности потенциального барьера: