Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?

Если вы искали на данной страничке только метод Симпсона, то настоятельно рекомендую сначала прочитать начало урока и просмотреть хотя бы первый пример. По той причине, что многие идеи и технические приемы будут схожими с методом трапеций.

И снова, начнём с общей формулы Рассмотрим определенный интеграл  , где   – функция, непрерывная на отрезке  .  Проведём разбиение отрезка   на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через  .

На практике отрезков может быть: два:  четыре:  восемь:  десять:  двадцать:  Другие варианты не припоминаю.

Внимание! Число   понимается как ЕДИНОЕ ЧИСЛО. То есть, НЕЛЬЗЯ сокращать, например,   на два, получая  . Запись   лишь обозначает, что количество отрезков чётно. И ни о каких сокращениях речи не идёт

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций: Точки   называют узлами.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: где:  – длина каждого из маленьких отрезков или шаг;  – значения подынтегральной функции в точках  .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:  – сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;  – сумма членов с чётными индексами умножается на 2;  – сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример 4

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков 

Интеграл, кстати, опять неберущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания – необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью. Что это значит, уже комментировалось в начале статьи, а также на конкретных примерах предыдущего параграфа. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков (значение «эн») чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. Кто понял, о чём я, и оценил объем работы, тот улыбнулся. Однако здесь не до смеха, находить четвертую производную от такой подынтегральной функции будет уже не мегаботан, а клинический психопат. Поэтому на практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения  , то узлов будет на один больше:  . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения: 

Заполним расчетную таблицу:

Еще раз комментирую, как заполняется таблица:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования  , а затем последовательно приплюсовываем шаг  .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если  , то  . Сколько оставлять знаков после запятой?Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх:  . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения: 

Заполним расчетную таблицу: Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность больше требуемой точности:  , поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков:  .

Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:

Вычислим шаг: 

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка, и если сразу бУхнуть: , то выглядеть сиё бухло будет как халтура. А при более детальной записи у преподавателя сложится благостное впечатление, что вы добросовестно стирали клавиши микрокалькулятора в течение доброго часа. Детальные вычисления для «тяжелых» случаев присутствуют в моём калькуляторе.

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности:  . Осталось взять наиболее точное приближение  , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ:   с точностью до 0,001

Пример 5

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001. Разбиение начать с двух отрезков 

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового «короткого» оформления решения и ответ в конце урока.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару распространенных примеров

Пример 6

Вычислить приближенное значение определенного интеграла    с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Точность вычислений 0,001.

Этот интеграл берётся, правда, новичку взломать его не так-то просто, соответствующий метод решения рассмотрен в примере 5 урока Сложные интегралы. В задачах на приближенное вычисление интеграл не обязан быть непременно неберущимся! Любознательные студенты могут вычислить его точно и оценить погрешность относительно приближенного значения.

Решение: Обратите внимание на формулировку задания: «Точность вычислений 0,001». Смысловой нюанс данной формулировки предполагает, что результаты нужно только округлить до третьего знака после запятой, а не достигнуть такой точности. Таким образом, когда вам предлагается для решения задача на метод трапеций, метод Симпсона, всегдавнимательно вникайте в условие! Спешка, как известно, нужна при охоте на блох.

Используем формулу Симпсона:

При десяти отрезках разбиения   шаг составляет 

Заполним расчетную таблицу:

Таблицу рациональнее сделать двухэтажной, чтобы не пришлось «мельчить» и всё разборчиво вместилось на тетрадный лист.

Вычисления, не ленимся, расписываем подробнее:

Ответ: 

И еще раз подчеркну, что о точности здесь речи не идет. На самом деле, ответ может быть не  , а, условно говоря,  . В этой связи в ответе не нужно машинально приписывать «дежурную» концовку: «с точностью до 0,001»

Пример 7

Вычислить приближенное значение определенного интеграла   с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с точностью до третьего десятичного знака.

Примерная версия чистового оформления и ответ в конце урока, который подошел к концу.

Для приближенного вычисления определенного интеграл применяются и другие методы. В частности, теория степенных рядов со стандартной задачей Приближенное вычисление определенного интеграла путём разложения подынтегральной функции в ряд. Но это уже материал второго курса.

А сейчас настала пора раскрыть страшную тайну интегрального исчисления. Я создал уже больше десятка уроков по интегралам, и это, так скажем, теория и классика темы. На практике же, в частности, при инженерных расчетах – приблизить объекты реального мира стандартными математическими функциями практически невозможно. Невозможно идеально точно рассчитать, площадь, объем, плотность, к примеру, асфальтового покрытия.Погрешность, пусть с десятого, пусть с сотого знака после запятой – но она всё равно будет. Именно поэтому по приближенным методам вычисления написаны сотни увесистых кирпичей и создано серьёзное программное обеспечение для приближенных вычислений. Классическая же теория интегрального исчисления в действительности применяется заметно реже. Но, кстати, без неё – тоже никуда!

Данный урок не рекорден по объему, но на его создание у меня ушло необычно много времени. Я правил материал и переделывал структуру статьи несколько раз, поскольку постоянно прорисовывались новые нюансы и тонкости. Надеюсь, труды были не напрасны, и получилось вполне логично и доступно.

Всего вам доброго!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Разбиваем отрезок интегрирования на 4 части:  Тогда формула трапеций принимает следующий вид:   Вычислим шаг:  Заполним расчетную таблицу:

Таким образом: Удвоим количество отрезков:  Вычислим шаг:  Заполним расчетную таблицу: Таким образом: Оценим погрешность вычислений: , таким образом, требуемая точность достигнута. Ответ:   с точностью до 0,001

Пример 5: Решение: 1) Рассмотрим два отрезка разбиения  Вычислим шаг:  Заполним расчетную таблицу: Таким образом: 2) Рассмотрим четыре отрезка разбиения  Вычислим шаг:  Заполним расчетную таблицу: Таким образом: Оценим погрешность: 2) Рассмотрим восемь отрезков разбиения  Вычислим шаг:  Заполним расчетную таблицу: Таким образом: Оценим погрешность: Ответ:   с точностью до 0,0001

Пример 7: Решение: Используем формулу Симпсона: , где:  ,  ,  В данном случае:  Таким образом: Ответ: 

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)