Как можно отблагодарить автора?

Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения, если линия задана параметрически?

На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых   и графиком функции  , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде  , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.

Встречайте старую знакомую: Криволинейную трапецию гордо венчает график  , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле   или, если короче:  .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде  .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра   параметрические уравнения будут определять координаты точки  , а при другом вполне конкретном значении   – координаты точки  . Когда «тэ» изменяется от   до   включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую  . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл   вместо «икса» и «игрека» подставляем функции   и раскрываем дифференциал:

Примечание: подразумевается, что функции   непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция   монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси  , рассчитывается по формуле   или:  . Подставляем в неё параметрические функции  , а также пределы интегрирования  :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примером данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Пример 1

Вычислить площадь криволинейной трапеции  , если 

Решение: используем формулу  .

Сначала найдём производную. Дифференцирование осуществляется, само собой, по переменной «тэ», для краткости записи я не буду рисовать подстрочный индекс: .

Таким образом: 

Ответ: 

И сразу проанализируем важный вопрос:

Нужно ли в рассматриваемом типе задач выполнять чертёж?

Отвечу так: если повезёт с заданием, то можно и не выполнять. Как, например, в только что решенном примере, где само условие «заточено» под формулу, и чертёж с фигурой, площадь которой необходимо рассчитать, по существу, и не нужен.

Однако даже в очень простых случаях нас могут поджидать неожиданные сюрпризы. Так… сейчас придумаю что-нибудь… вот: вычислить площадь криволинейной трапеции  , давайте с теми же пределами изменения параметра «тэ» от 1 до 4-х.

Найдём производную:  Площадь: 

Но площадь не может быть отрицательной! Где ошибка?

В подобной ситуации, прежде всего, нужно проверить само решение. Выполняем тщательную проверку и убеждаемся, что с техникой всё в порядке. А может быть фигура расположена подосью  , и поэтому изначально следовало поставить знак «минус» перед интегралом? Анализируем функцию  , «отвечающую за игреки». Нет – она вообще неотрицательна при любом допустимом значении параметра, а значит, фигура расположена выше оси абсцисс. Так почему же площадь получилась со знаком «минус»?!

Разгадка в следующем: параметр «тэ» изменяется в пределах  , но при его увеличении функция   убывает. Что это значит геометрически? Это значит, что мы двигаемся по оси   влево, и соответственно, параметрические уравнения   «прочерчивают» линию справа налево. Но площадь криволинейной трапеции традиционно рассчитывается слева направо! Отсюда и «минус».

В этой связи корректное решение оформляется примерно так: «нижнему пределу интегрирования соответствует значение  , а верхнему пределу интегрирования – значение  , таким образом:  ». Здесь мы «заставили убывать сам параметр», чтобы интегрирование проходило в «правильном» направлении.

Но на практике распространён и другой вариант: перед исходным интегралом изначально ставится «минус»:   с предварительным комментарием, что функция   убывает на промежутке   (а то и без всяких пояснений ;-)).

Как видите, даже в таком простом примере волей-неволей пришлось прибегнуть к анализу (пусть и устному) геометрической информации, а во многих случаях без чертежа и вовсе обойтись очень трудно. Но беда в том, что изобразить график функции, заданной параметрически, не так-то просто и не так-то быстро, поэтому я рекомендую пользоваться программными средствами, например, моим графопостроителем (можно закачать на странице Математические формулы и таблицы).

Классическая задача по теме, которая разбирается всегда и везде:

Пример 2

Вычислить площадь эллипса 

Решение: для определённости полагаем, что параметрические уравнения  задают канонический эллипс с центром в начале координат, большой полуосью «а» и малой полуосью «бэ». То есть, по условию нам предложено не что иное, как