Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования

Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:

Как решить интеграл с бесконечными пределами? Данный интеграл нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов: Примечание: вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.

Если оба интеграла правой части сходятся, то сходится и интеграл  . Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится и интеграл 

Пример 9

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Я специально подобрал примитивный пример, чтобы проиллюстрировать другой важный момент применения метода.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Согласно правилу, интеграл следует представить в виде суммы интегралов:

Интеграл будет сходиться, если будут сходиться оба интеграла правой части.  Проверяем:

 – сходится.

 – сходится.

Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной. В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричными интервалами интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определенному интегралу, интервал интегрирования можно споловинить, а результат – удвоить.

То есть, решение допустимо записать короче:

Почему такое возможно? График подынтегральной чётной функции  симметричен относительно оси  . Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна. Если половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться.

Пример 10

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Согласно правилу, интеграл нужно представить в виде суммы двух интегралов:

Проверяем сходимость интегралов правой части: Первый интеграл расходится. Знак «минус» говорит о том, что бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс.

Не нужно проверять сходимость второго интеграла правой части, поскольку для того, чтобы интеграл   сходился, необходимо чтобы сходились оба интеграла правой части.

Ответ: несобственный интеграл   расходится

А сейчас очень важный момент: подынтегральная функция   является нечётной. В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричными интервалами интегрирования) нечётностью пользоваться НЕ СЛЕДУЕТ!!!

В этом состоит отличие от определенного интеграла. Там всегда можно смело записать:  , а здесь так поступать – не следует. Почему? Потому что в ряде случаев, как, например, в рассмотренном примере, получится нонсенс. Если считать, что  , то интеграл будет сходящимся (поскольку получено конечное число), но в то же время его часть:  – расходится (как мы только что показали в решении).

Тонкость же состоит в том, что несобственный интеграл   от нечетной функции  , в принципе, может равняться нулю, но нельзя сразу записывать, что  . Всегда представляем интеграл в виде двух интегралов и выполняем проверку на сходимость по стандартному алгоритму.

Как раз этой тонкости посвящен следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 11

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Полное решение и ответ в конце урока.