Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка

Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.

Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности. Уравнение вида   задаёт окружность с центром в точке   радиуса  . В частности, уравнение   задаёт окружность радиуса   с центром в начале координат.

Пример 4

Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением 

 – это окружность с центром в начале координат радиуса  .

Выполним чертёж:

Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга  , то его площадь равна: 

Для того чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения окружности   выразить функцию «игрек» в явном виде:

Верхняя полуокружность задается уравнением  Нижняя полуокружность задается уравнением 

Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.

Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.

Таким образом:

Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:

Проведём замену: 

Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:

Выясним, во что превратится корень, я распишу очень подробно:

Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие   , то, увы, схлопочете от преподавателя «приходите в следующий раз».

После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена  , особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.

Осталось вычислить новые пределы интегрирования: Если  , то 

Новый нижний предел интегрирования:  Новый верхний предел интегрирования: 

Таким образом:

Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:

Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула  ?  А фишка состоит в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа (хотя уже в древности площадь круга рассчитывали с приличной точностью).

Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса:  . В результате получится как раз формула  !

Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла  , а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение элементарно сводится к оптимальной версии:

Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене  . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Будьте внимательны! Полное решение и ответ в конце урока.