
- •Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Интегрирование по частям. Примеры решений
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложение числителя
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Метод выделения полного квадрата
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
- •Методом сведения интеграла к самому себе
- •Интегрирование сложных дробей
- •Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Интеграл от корня из дроби
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Определенный интеграл. Примеры решений
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Что такое интеграл? Теория для чайников
- •С чего начать?
- •Первообразная функция, неопределённый интеграл и его свойства
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Определённый интеграл и его свойства
- •Вывод формулы Ньютона-Лейбница
- •Рассмотрим основные свойства определённого интеграла
- •Общая концепция задачи интегрирования
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Несобственные интегралы. Примеры решений
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
- •Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить площадь фигуры в полярных координатах с помощью интеграла?
- •Как построить фигуру, если её надо построить, но под рукой нет программы?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения, если линия задана параметрически?
- •Как найти площадь в этом случае?
- •Формула объёма тела вращения получается так же просто:
- •Нужно ли в рассматриваемом типе задач выполнять чертёж?
- •Найти площадь эллипса
- •Как найти объем тела вращения, если фигура ограничена параметрически заданной линией?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить длину дуги кривой?
- •Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?
- •Как найти длину дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить площадь поверхности вращения?
- •Площадь поверхности тора
- •Площадь поверхности вращения при параметрически заданной линии
- •Как вычислить площадь поверхности вращения, если линия задана в полярной системе координат?
- •Как можно отблагодарить автора?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона?
- •Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?
- •Как можно отблагодарить автора?
Интегрирование сложных тригонометрических функций
Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.
На уроке Интегралы
от тригонометрических функций мы
разобрали интеграл от тангенса в
квадрате. На уроке Как
вычислить площадь фигуры? в
примере 10 фигурировал тангенс в кубе.
В том примере для нахождения интеграла
от тангенса в кубе мы применяли
тригонометрическую формулу
.
Интеграл от тангенса в четвертой, пятой
степени (редко в более высоких степенях)
решается с помощью этой же формулы!
Пример 15
Найти неопределенный интеграл
Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:
(1) Готовим подынтегральную функцию к
применению формулы.
(2) Для одного из
множителей используем формулу
(3)
Раскрываем скобки и сразу же используем
свойство линейности неопределенного
интеграла.
(4) В первом интеграле
используем метод
подведения функции под знак дифференциала.
Во втором интеграле еще раз используем
формулу
,
в данном случае
.
(5)
Берём все три интеграла и получаем
ответ.
Пример 16
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная
формула:
.
Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций.
На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!
Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17
Найти неопределенный интеграл
Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:
(1) Используем тригонометрическую формулу
синуса двойного угла
.
(2)
Проводим искусственное преобразование:
В знаменателе делим и умножаем на
.
(3)
По известной формуле в знаменателе
превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим
функцию под знак дифференциала.
(5)
Берём интеграл.
Пара простых примеров для самостоятельного решения: Пример 18
Найти неопределенный интеграл
Указание: Самым первым действием следует
использовать формулу приведения
и
аккуратно провести аналогичные
предыдущему примеру действия.
Пример 19
Найти неопределенный интеграл
Ну, это совсем простой пример.
Полные решения и ответы в конце урока.
Думаю, теперь ни у кого не возникнет
проблем с интегралами:
и
т.п.
В чём состоит идея метода? Идея состоит
в том, чтобы с помощью преобразований,
тригонометрических формул организовать
в подынтегральной функции только
тангенсы и производную тангенса
.
То есть, речь идет о замене:
.
В Примерах 17-19 мы фактически и применяли
данную замену, но интегралы были настолько
просты, что дело обошлось эквивалентным
действием – подведением
функции под знак дифференциала.
Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.
Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:
Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, например:
для интеграла
–
целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.
! Примечание: если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах №№17, 18).
Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:
Пример 20
Найти неопределенный интеграл
Сумма степеней синуса и косинуса
:
2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ
число, значит, интеграл можно свести к
тангенсам и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По
известной формуле получаем
.
(3)
Преобразуем знаменатель.
(4) Используем
формулу
.
(5)
Подводим функцию под знак дифференциала.
(6)
Проводим замену
.
Более опытные студенты замену могут и
не проводить, но все-таки лучше заменить
тангенс одной буквой – меньше риск
запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)
Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:
Пример 22
Найти неопределенный интеграл
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23
Найти неопределенный интеграл
Пример 24
Найти неопределенный интеграл
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока
У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. Отнюдь. За окном февральский ветер – самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. К тому же, загружать студентов – удовольствие бесконечное =). …Шутка! На самом деле моя миссия – разгружать посетителей сайта. Вагонами.
Переходим к заключительному пункту познавательного путешествия в мир сложных интегралов: