Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
Перейдем к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Совершенно очевидно, что данная дробь
является неправильной: 
Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций – этоделение числителя на знаменатель. Алгоритм деления многочленов столбиком рассматривался на уроке Сложные пределы, и сейчас мы закрепим навыки.
Сначала рисуем «заготовку» для деления:
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.
Теперь маленькая задачка, на какой
множитель нужно умножить
,
чтобы получить 
?
Очевидно, что на 
:
Далее умножаем
сначала
на
,
потом – на 
,
потом – на
,
потом – на 0 и записываем результаты
слева:
Проводим черточку и производим вычитание
(из верха вычитаем низ):
Старшая
степень остатка 
равна
двум, старшая степень делителя 
–
больше, она равна трём, значит, больше
разделить не удастся. Если бы изначально
у нас был в числителе многочлен пятой
степени, то то алгоритм деления увеличился
бы на один шаг.
Итак, наше решение принимает следующий
вид:
Делим числитель на знаменатель:
(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.
После деления всегда желательно выполнять
проверку.
В рассматриваемом примере
можно привести к общему знаменателю 
,
и в результате получится в точности
исходная неправильная дробь 
(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Дальше всё идет по накатанной схеме:
Методом неопределенных коэффициентов
разложим подынтегральную функцию в
сумму элементарных дробей:
Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендую всем!
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Только что обратил внимание, что во всех
примерах урока в ходе решения систем у
нас получались «хорошие» целые
коэффициенты 
.
По той причине, что почти все интегралы
я взял из сборника Рябушко. На практике
же, когда автор методички придумает
какой-нибудь корявый интеграл, часто
будут появляться разные нехорошести.
Таким
образом, если в ходе решения интеграла
от дробно-рациональной функции у Вас
получаются дробные значения коэффициентов
,
то в этом нет ничего страшного, ситуация
даже обыденна.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого с , поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.
Пример 4: Решение:
Шаг 1. Проверяем,
правильная ли у нас дробь
Старшая
степень числителя: 6
Старшая
степень знаменателя: 8
,
значит, дробь является правильной.
Шаг 2. Можно ли что-нибудь
разложить в знаменателе на множители.
Множитель 
разложить
нельзя, а вот 
–
можно:
Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Пример 6: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 7: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 9: Решение:
(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.
(2)-(3) Теперь можно разделить 
на
знаменатель 
,
но делать этого… я не буду. Можно
поступить хитрее. Используем прием,
который рассмотрен в первом параграфе
урока Интегрирование
некоторых дробей.
(4) От первого слагаемого сразу берем
интеграл. Знаменатель оставшейся, уже
правильной, дроби снова записываем в
виде произведения множителей. Тут я
немного подсократил разложение, надеюсь,
всем понятно, что 
Далее накатанная колея…
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Вы выполнили проверку, мож где ошибочка вышла ;)
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)