Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.  ,  ,  ,   (коэффициенты   и   не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на урокеМетод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и какосуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6  сначала необходимо представить знаменатель   в виде  , потом подвести   под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой  .

Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл:

Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида  ,   (коэффициенты   и   не равны нулю) решаютсяметодом выделения полного квадрата, который уже фигурировал на урокеГеометрические преобразования графиков.

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

 или 

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения   либо  , а затем преобразовать их соответственно в   либо  .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Это простейший пример, в котором при слагаемом   – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю  . Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу  : 

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход:  , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала:  , в принципе, можно было пренебречь

Пример 10

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл:

Что делать, когда перед   находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке:  . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:   

Тут получилась формула  , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку: , что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом   уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при   находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле  .  Надо разобраться в слагаемом  , а именно, получить «двойку»

(4) Ага,  . Значит, к выражению прибавляем  , и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить  , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма  , и действие  выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу  , только вместо «икс» у нас  , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию   следовало подвести под знак дифференциала:  , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.