Как можно отблагодарить автора?

Сложные пределы

В данной статье будут рассмотрены пределы повышенной сложности, и заключительный практикум по теме предназначен, прежде всего, для читателей со средним и высоким уровнем подготовки. Если ваши навыки вычисления пределов невелики или вовсе отсутствуют, пожалуйста, начните с вводного урока Пределы функций. Примеры решений. Многие методы решения пределов, о которых пойдёт речь, уже знакомы и сложность будет состоять преимущественно в технике вычислений. Кроме того, мы рассмотрим примеры с более редкими замечательными пределами, которые до сей поры были обделены моим вниманием.

Пока не знаю, сколько будет примеров, 15-ть, 20-ть или больше, но в любом случае программа предстоит насыщенная, поэтому сразу приступим к зачистке территории:

Пример 1

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

При подстановке «единицы» в выражение под знаком предела, получается неопределённость , которая устраняется стандартным методом: числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, а затем что-нибудь сократить. Разложить на множители…. Были бы у нас многочлены второй степени – без проблем. Но как раскладывать кубические многочлены? Познакомимся с новым приёмом, который основан на одной из теорем алгебры. Сначала кратко передам теоретическую суть:

Рассмотрим многочлен   положительной степени. Если число   является корнем уравнения  , то многочлен   делится на многочлен   без остатка. В результате деления получается многочлен  , при этом:  .

Да, многочлены, как и числа, можно делить друг на друга. Термины те же:  – делимое;  – делитель;  – частное.

Начнём оформлять решение и детально разберём техническую сторону вопроса:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: поскольку число   является корнем уравнения  , то многочлен   делится на многочлен   без остатка. Деление выполняется столбиком. В школе столбиком мы делили числа, и принцип деления многочленов весьма похож. Записываем начальный шаблон: Обратите внимание на очень важную вещь: в многочлене   в явном виде отсутствует «икс» в первой степени. При делении ОБЯЗАТЕЛЬНО прописываем все недостающие слагаемые, прикрепляя к ним нулевые коэффициенты.

Теперь в углу нужно разоблачить незнакомца  : Каким он должен быть? Девчонки, признавайтесь =) …Нет-нет-нет, он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось  : Очевидно, что данному критерию удовлетворяет  . Действительно,  . Записываем первый трофей:

Далее нашего героя необходимо умножить на делитель  :  , а результат записать во второй строке слева:

Проводим отчёркивание и из первой строки почленно вычитаем вторую строку: Если подробно,   (ноль под чертой не пишем), 

Сносим сверху следующее слагаемое:

Алгоритм идёт на следующий круг. Снова  ищем одночлен  , он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось  : В данном случае  . Рисуем его справа под чертой:

и умножаем   на делитель  :  , результат записываем в 4-ую строку: Ещё раз отчёркиваем и проводим почленное вычитание:   (ноль под чертой не пишем),  :

Сносим сверху последнее слагаемое:

Организуем завершающий цикл. Необходимо подобрать третье слагаемое  , которое при умножении на «икс» даёт  :

Уравнению   соответствует корень  , который записываем справа под чертой:

Умножаем   на делитель  :  , результат записываем в 6-ую строку: Выполняем завершающее отчёркивание и почленное вычитание:

В итоге получился ноль, и это значит, что все вычисления выполнены правильно. Иными словами, многочлен   поделился на   без остатка. Таким образом:

Желающие могут раскрыть скобки в правой части и убедиться, что получится исходный многочлен  .

Рассмотренный алгоритм на самом деле не сложен, и рука набивается довольно быстро.

Знаменатель. Разборки аналогичны. Так как число   является корнем уравнения  , то соответствующий многочлен делится на   без остатка:

В итоге 

Открываем решение и записываем всё, что нажито непосильным трудом:

Приключения продолжаются – после сокращения неопределённость не устранена. Но уже легче, квадратные трёхчлены можно разложить на множители тривиальным способом, рассмотренным на первом уроке про пределы функций. Тем не менее, в целях закрепления алгоритма продолжим деление. Да простит меня сервак =)

Числитель. Поскольку число   является корнем уравнения  , то соответствующий многочлен делится на   без остатка. Поехали. На первом шаге подбираем   ТАКИМ образом, чтобы при его умножении на «икс» получить  :

Искомое значение  :

Умножаем   на делитель  : , результат записываем слева, отчёркиваем и проводим почленное вычитание:

Из первой строки сносим оставшееся слагаемое:

Второе значение   при умножении на «икс» должно давать «икс»:

Очевидно, что  :

Умножаем   на делитель  : , результат записываем ниже, отчёркиваем и проводим почленное вычитание:

В остатке получился ноль, значит, деление выполнено верно. Таким образом:

Аналогично расправляемся со знаменателем:

То есть 

Снова открываем решение и получаем окончательный ответ:

Выполним проверку. Дважды используем правило Лопиталя:

Сравните трудоёмкость двух способов решения. Думаю, теперь вам понятно, почему запрещают применять правило Лопиталя =)

Времени и сил на первый пример совсем не жалко, так как необходимость делить многочлены время от времени возникает в других задачах, в частности, при нахождении нулей функции, в интегралах от дробно-рациональной функции. Поэтому с энтузиазмом отнесёмся к другим пределам… …они будут ещё длиннее =) Никто не знает, вдруг в жизни пригодится. Хах. Вспомнился заезженный анекдот в тему: если к вам на улице подошли Свидетели Иеговы, перехватите инициативу – начните им рассказывать про тройные интегралы.

Пример 2

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Вернёмся к другому известному способу решения пределов, повысив их сложность:

Пример 3

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Неопределённость   ликвидируется стандартным методом – умножением и делением на сопряженное выражение. Единственное отличие, приём используется два раза:

1) для устранения разности   домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение  ;

2) для устранения разности   домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение  .

Далее дважды используется формула  . Сама техника решения подробно рассмотрена на уроке Пределы. Примеры решений.

Оформляем:

Оба вышеуказанных действия выгоднее выполнить «за один присест». Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

Проверим решение по правилу Лопиталя:

Пример 4

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это более сложный пример для самостоятельного решения.

Иногда в пределах рассматриваемого типа приходится использовать не только формулу разности квадратов  , но и формулу разности кубов:

Пример 5

Найти предел

Неопределённость   устраняется умножением и делением на сопряженное выражение. Аналогичные, но более простые пределы мы рассмотрели в Примерах №№11-13 урокаМетоды решения пределов. Только здесь работает формула разности кубов:  

В данном случае  . И, согласно формуле, для разности   сопряженным выражением будет вот этот вот страх:

Умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы использовать формулу  :

Тоже знакомая картина….

Старшая степень числителя: 2 Старшая степень знаменателя: 2

Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, и сразу можно сказать, что предел равен конечному числу.

Разделим числитель и знаменатель на  :

Готово.

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. После умножения/деления на сопряженное выражение и упрощений предел будет сведён к случаю Примеров №№1-3 статьи о бесконечно малых функциях. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас обещанные на уроке Методы решения пределов плюшки на замену переменной. Повышенной сложности:

Пример 7

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Аргумент стремится к не самому распространённому числу:  ,  с ходу и не сообразишь, есть здесь вообще неопределённость или нет. Поэтому откроем тригонометрическую таблицу, и выпишем следующие значения: 

Проверим предел на наличие неопределённости: Да, действительно, два бублика.

Проведём предварительный анализ. В пределе находятся тригонометрические функции, и решение, скорее всего, сведётся к первому замечательному пределу. В этой связи напрашивается замена, после которой новая переменная будет стремиться к нулю.

Но перед заменой целесообразно провести некоторое упрощение выражения. В пределе есть тангенс, а работать с этой функцией неудобно (как и с котангенсом тоже). Таким образом, сначала лучше свести всё дело к синусам и косинусам. Пример свирепый, поэтому я закомментирую каждый шаг:

(1) Используем формулу  . (2) Дробь числителя приводим к общему знаменателю. (3) Избавляемся от трёхэтажности дроби, а также от косинуса, указывая, что  . (4) Выносим константу   за значок предела.

Неопределённость никуда не делась, но от тангенса мы избавились, что уже является небольшим достижением

Проведем замену переменной:  Если  , то  Ну и ещё – из замены   нужно выразить:  .

(5) Выполняем подстановку в соответствии с выполненной заменой. (6) Используем тригонометрические формулы: (7) Используя значения  , упрощаем выражение. (8) Раскрываем скобки в числителе и знаменателе. (9) Приводим подобные слагаемые в числителе. (10) Константу –2 выносим за значок предела. В знаменателе переставляем слагаемые. И снова два нуля, причём не видно как решать предел дальше…. Но если хорошенько пошуршать в тригонометрических формулах, то история закончится счастливым концом:

(11) Используем формулы половинного угла:  . В числителе избавляемся от косинуса, указывая, что  . (12)  В знаменателе выносим за скобки  . (13) Сокращаем числитель и знаменатель на  .

Забавно, что всё обошлось даже без замечательного предела.

Не знаю, кто и на каком месте будет рвать себе волосы, но правило Лопиталя даёт ответ фантастически быстро:

Пример 8

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения. В тригонометрической таблице нет информации об отрицательных значениях угла. Понятие ориентации угла дано в статьеПростейшие задачи с прямой на плоскости. Наглядная иллюстрация с конкретными примерами также фигурирует при нахождении аргумента комплексного числа. Чтобы воспользоваться таблицей, прибавляем один «оборот»:  , то есть   и   – это один и тот же угол. Таким образом: Полное решение и ответ в конце урока

Как-то незаслуженно оказались забыты степени:

Пример 9

Найти предел

На повестке дня неопределённость  , и решение, очевидно, нужно свести к замечательной формуле  . Но в нашем пределе нет единицы, только одинокий косинус. Что делать? Организуем!

(1) Приводим основание степени к виду  , для этого используем искусственный приём: прибавляем и вычитаем единицу. Таким образом:  (2) В целях применения 2-го замечательного предела возводим основание в степень  , и, чтобы ничего не изменилось – в обратную степень  . (3) Используем замечательный предел  . (4) Теперь в показателе необходимо устранить неопределённость 0:0. Сначала меняем знак в числителе:  , минус выносим из предела. (5) В числителе используем формулу  . (6) Искусственно преобразуем знаменатель, чтобы получить два первых замечательных предела.

Очень кстати в одном примере подвернулись сразу оба замечательных предела, и после их повторения во второй части статьи рассмотрим:

Замечательные пределы с экспонентой и логарифмом

На практике чаще встречаются пределы   и особенно их частные случаи  . Предела   лично ни разу не видел, а может быть, и видел, да не помню.

Иногда перечисленные пределы называют третьим, четвёртым и пятым замечательным пределом, но своё негативное отношение к избыточной нумерации я уже высказал на урокеПравила Лопиталя, поэтому пусть это будут «просто» замечательные пределы без номеров. Сама техника решения мало чем отличатся от первого замечательного предела:

Пример 10

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Чтобы использовать замечательный предел   необходимо применить уже знакомый искусственный приём: в знаменателе умножаем и делим на 2:

Вот и всё. Напоминаю, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только переменная «икс», но и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю. В рассмотренном примере  .

Короткий закусочный предел для самостоятельного решения:

Пример 11

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Заметьте, что условие задачи не ограничивает нас в выборе действий, примеры можно было решить и через замечательные эквивалентности:  (эквивалентность  ).

  (эквивалентности  )

Какой способ выбрать? Рекомендую всё-таки решать через замечательные пределы (конечно, если пример не дико сложный) – выглядит солиднее.

Существенная особенность пределов   состоит в том, что при перестановке числителя и знаменателя результаты тоже «переворачиваются»:

Пример 12

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Как говорится, мал пример да заковырист….

Решаем:

На первом шаге нужно перейти к новой переменной ТАК, чтобы она стремилась к нулю. Проведём замену:  , тогда:  Если  , то 

Для самостоятельного решения:

Пример 13

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Если возникли затруднения на начальном этапе, пожалуйста, вернитесь к Примеру №9.

Разберём напоследок что-нибудь посложнее. Типовой и довольно распространённый предел:

Пример 14

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Сначала полное решение, потом комментарии:

(1) На первых шагах избавляемся от синуса. Умножим числитель и знаменатель на  . (2) Используем первый замечательный предел  , где  . Константу   выносим из предела. (3) Проводим искусственное преобразование числителя. Возьмите его на заметку, разность экспонент раскручивается именно так. (4) Почленно делим числитель на знаменатель. (5) Числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 2. Числитель и знаменатель второй дроби умножаем на –3. (6) В обеих дробях используем замечательный предел  , после чего остались от козлика рожки да ножки.

Используя правило Лопиталя, выполним проверку:

Заключительный пример посвящен раритету  . Если его не встречал я, то это не значит, что его не встретите вы. Встретите. Причём, прямо сейчас =)

Пример 15

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения.

Всего примеров получилось таки 15-ть, а не 20-ть, и ваш покорный слуга постарался отобрать самые распространенные вещи. Желающие ознакомиться с другими пределами, могут закачать соответствующий архив решений в банке задач по высшей математике. Однако должен предупредить, будьте осторожнее – некоторые экземпляры не то, чтобы сильно сложные, но точно рождены воспалённым сознанием. Я постарался разобрать тему без навороченных нелепых примеров, поскольку убеждён, что студент должен мучиться с удовольствием =)

И приснится вам сегодня правило Лопиталя =)

Решения и ответы:

Пример 2 Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе используем формулу суммы кубов  : Знаменатель: Таким образом: 

Пример 4 Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения. Разложим числитель и знаменатель на множители:

Пример 6 Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, используем формулу разности кубов  :

Пример 8 Используем формулу  : Проведём замену переменной:  Если  , то  Используем тригонометрическую формулу  : Используем формулы половинного  аргумента  :

Пример 11

Умножаем числитель и знаменатель на  , используем замечательный предел  , где  . В конце используем 1-ый замечательный предел:

Пример 13

Пример 15

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)