Второе правило Лопиталя

Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками  . Аналогично:

Если существует предел отношения бесконечно больших в точке   функций:  , то в целях устранения неопределённости   можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом:  , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел   должен существовать

Опять же, в различных практических примерах значение   может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость  .

Проверим Пример №3 первого урока:  . Используем второе правило Лопиталя:

Однако для Примера №2    той же статьи  проверка данным способом будет весьма муторна. Тут придётся использовать правило Лопиталя три раза подряд (экспериментаторы могут попробовать). На самом деле ответ лежит на поверхности и почти мгновенно определяется устно (см. статью Методы решения пределов).

Коль скоро речь зашла о великанах, разберём два каноничных предела:

Пример 1

Вычислить предел 

Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:

Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы (  и т.д.). Разумеется, «иксы» в старших степенях тоже будут «перетягивать» такие логарифмы. Действительно, функция   растёт достаточно медленно и её график является более пологим относительно того же «икса».

Пример 2

Вычислить предел 

Ещё один примелькавшийся кадр. В целях устранения неопределённости  , используем правило Лопиталя, причём, два раза подряд:

Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы (  и т.д.) более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью.

Похожие пределы встречаются в ходе полного исследования функции, а именно, при нахождении асимптот графиков. Также замечаются они и в некоторых задачах по теории вероятностей. Советую взять на заметку два рассмотренных примера, это один из немногих случаев, когда лучше дифференцирования числителя и знаменателя ничего нет.

Далее по тексту я не буду разграничивать первое и второе правило Лопиталя, это было сделано только в целях структурирования статьи. Вообще, с моей точки зрения, несколько вредно излишне нумеровать математические аксиомы, теоремы, правила, свойства, поскольку фразы вроде «согласно следствию 3 по теореме 19…» информативны только в рамках того или иного учебника. В другом источнике информации то же самое будет «следствием 2 и теоремой 3». Такие высказывания формальны и удобны разве что самим авторам. В идеале лучше ссылаться на суть математического факта. Исключение – исторически устоявшиеся термины, например, первый замечательный предел или второй замечательный предел.

Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется: