Сравнение бесконечно малых функций
В статье Методы
решения пределов были
подробно рассмотрены гиганты, которые
мерялись между собой порядком
роста, и ситуацию контролировала
самая большая особь. Общество карликов
устроено точно так же, только соревнуются
они в другой весовой категории – порядке
малости. Среди лилипутов тоже
существуют свои великаны, кто самый
крупный – тот и девушку танцует. Проясним
ситуацию. Рассмотрим следующую бесконечно
малую функцию:
Да, совершенно понятно, что предел равен
нулю, но обратим внимание на довольно
любопытную вещь: в пределе находится
сумма функций 
,
и некоторые из них будут стремиться к
нулю быстрее, а некоторые
– медленнее. Об этом я уже
немного рассказывал в Примере №7
урока Методы
решения пределов.
Построим последовательность 
,
которая стремится к нулю, и вычислим
несколько значений трёхчлена 
:
Очевидно, что с уменьшением значений
«икс», функция 
убегает
к нулю быстрее всех остальных (её значения
обведены красным цветом). Говорят, что
функция
более
высокого порядка малости, чем
функции 
,
а также более высокого порядка
малости, чем 
.
Но быстро бегать в Стране лилипутов –
не есть доблесть, «тон задаёт» самый
нерасторопный карлик 
,
который, как и полагается боссу, идёт к
нулю медленнее всех. Именно от него
зависит, насколько
быстро сумма
приблизится
к нулю:
Образно говоря, бесконечно малая
функция
«поглощает»
всё остальное, что особенно хорошо видно
по итоговому результату третьей строки.
Иногда говорят, что
более
низкого порядка малости, чем 
и
их сумма.
В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах:
Пример 1
Вычислить предел
Здесь неопределённость
,
и из вводного урока о пределах
функций вспоминаем
общий принцип раскрытия данной
неопределённости: нужно разложить
числитель и знаменатель на множители,
а потом что-нибудь сократить:
На первом шаге в числителе выносим за скобки , а в знаменателе «икс». На втором шаге сокращаем числитель и знаменатель на «икс», устраняя тем самым неопределённость. Указываем, что оставшиеся «иксы» стремятся к нулю, и получаем ответ.
В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя. Или короче: числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль.
Как и в случае с бесконечно большими
функциями, ответ можно узнать заранее.
Приём аналогичен, но отличается тем,
что в числителе и в знаменателе нужно
МЫСЛЕННО отбросить все слагаемые
со СТАРШИМИ степенями,
поскольку, как отмечалось выше,
определяющее значение имеют медленные
карлики:
Пример 2
Вычислить предел
Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем
ответ: МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые
(быстрых карликов) числителя и
знаменателя:
Алгоритм решения, точно такой же, как и
в предыдущем примере:
В
данном примере знаменатель более
высокого порядка малости, чем числитель.
При уменьшении значений «икс», самый
медленный карлик числителя (и всего
предела) 
становится
настоящим монстром по отношению к своему
более быстрому оппоненту 
.
Например, если 
,
то 
–
уже в 40 раз больше…. не монстр ещё,
конечно, при данном значении «икс», но
такой уже субъект с большим пивным
животом.
И совсем простой демонстрационный предел:
Пример 3
Вычислить предел
Узнаем ответ, МЫСЛЕННО отбросив
все старшие слагаемые
числителя и знаменателя:
Решаем:
В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости.
На самом деле сравнение бесконечно
малых функций давно фигурировало на
предыдущих уроках:
(Пример
№4 урока Пределы.
Примеры решений);
(Пример
№17 урока Методы
решения пределов) и
т.д.
Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности.