Как можно отблагодарить автора?

Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах

Продолжаем учебный цикл «пределы для чайников», который открылся статьями Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Если вы впервые на сайте, рекомендую также ознакомиться с уроком Методы решения пределов, который значительно улучшит вашу студенческую карму. В третьем мануале мы рассмотрели бесконечно большие функции, их сравнение, и сейчас настало время вооружиться лупой, чтобы после Страны великанов заглянуть в Страну лилипутов. Я провёл новогодние каникулы в культурной столице и вернулся в очень хорошем настроении, поэтому чтение обещает быть особо интересным.

В данной статье будут подробно разобраны бесконечно малые функции, с которыми вы на самом деле уже неоднократно сталкивались, и их сравнение. С невидимыми событиями вблизи нуля тесно связаны многие замечательные пределы, замечательные эквивалентности, и практическая часть урока, в основном, посвящена как раз вычислению пределов с использованием замечательных эквивалентностей.

Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых

Что тут сказать… Если существует предел  , то функция   называетсябесконечно малой в точке  .

Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.

Начертим знакомую линию  : Данная функция бесконечно малА в единственной точке:  Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой:  . Или в более компактной записи: 

Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля.

Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.

! Примечание: для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке.

Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу: Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»: 

Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой: 

Смысл двойных знаков:  Запись   обозначает, что при  , а при  .  Запись   обозначает, что при  , а при  . Запись   обозначает, что и при  , и при  . Запись   обозначает, что и при  , и при  . Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов.

А теперь синус  . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек: Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»: Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой, синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность.

Отвечу ещё на пару простых вопросов:

Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности?

Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка.  Элементарный пример:  . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций.

Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой?  (в любой точке области определения)

Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось  . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, но бесконечно малА на бесконечности.