Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость   можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только об определённости   и никакой другой.

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или  ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел  :

В данном случае   , и по формуле  :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

Пример 18

Вычислить предел 

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость 

Используем формулу 

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель   удобнее вычислить отдельно:

В данном случае: 

Таким образом:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим  константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

В результате:

Готово.

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью  :

Пример 19

Вычислить предел 

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы  . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость   к  виду  .

(6) Используем формулу  .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма:  . Минус перед дробью вносим в знаменатель: 

(8) Без комментариев =) Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Пример 20

Вычислить предел 

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде   и заменой   свести решение к случаю  .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости  . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости   и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример:  .

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решениймы без проблем свели данный пример к неопределённости   и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:  и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность:  .  В других случаях при неопределённости    2-ой замечательный предел не применим.

Пример 21

Найти пределы 

Как ни старайся, а неопределённость   не удастся преобразовать в неопределённость 

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты:  .

Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ.

! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость  , здесь же речь идёт о неопределённости  .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Пример 22

Найти пределы 

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще:

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

Завершая тотальное разоблачение пределов, я хочу поздравить всех посетителей сайта с новым 2013 годом! С подарком я успел, и постинг данной статьи осуществлен 31-го декабря 2012 года. Вы спросите, а как же моя личная подготовка к празднику? Давно готов =) На протяжении многих лет я занимаюсь стратегическим планированием – чтобы не толкаться в очередях до и не пересекаться с краснокожими после =)

Берегите печень!

Решения и ответы:

Пример 2 Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3. Разделим числитель и знаменатель на  :

Пример 4 Разделим числитель и знаменатель на  : Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на  , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6 Разделим числитель и знаменатель на  :

Пример 8 Разделим числитель и знаменатель на  : Примечание: слагаемое   стремиться к нулю медленнее, чем  , поэтому   является «главным» нулём знаменателя.

Пример 10

Пример 12 Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Пример 13 Умножим и разделим на сопряженное выражение: Разделим числитель и знаменатель на  :

Пример 15 Проведём замену:  Если  , то  .

Пример 17 Проведём замену:  Если  , то  . Далее используем формулу приведения  , тригонометрическую формулу   и  первый замечательный предел:

Пример 20 Используем формулу 

Пример 22 Примечание: бесконечно малая функция   стремится к нулю медленнее, чем  , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую  роль: 

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)