35. Методика ознайомлення учнів з поняттям частина і дріб. Система вивчення дробів у початковій школі. Порівняння дробів.

Мета ознайомлення учнів початкових класів з дробами: відомості про дроби включено до програми для того, щоб розширити уявлення молодших школярів про число, сформувати у них конкретні уявлення про частини та дроби, підготувати дітей до вивчення дробів у курсі математики 5-6 класів. Матеріал розміщений так: у 3 класі в темі „Таблиця ділення на 4” діти ознайомлюються з такими поняттями як „половина”, „третина чи третя частина”, „четвертина чи четверта частина”, а пізніше при вивченні ділення на 8 „шоста частина”. Слід зазначити, що в цей час символічні позначення (відповідно 1/2, 1/3, 1/4, 1/6) не використовуються. Пізніше в темі „Множення і ділення в межах 1000” учні ознайомлюються з символічними позначеннями частин1/2, 1/3, 1/4, 1/5 тощо та розв’язують текстові задачі на знаходження частини від числа і числа за його частиною. У 4 класі розглядається тема „Ознайомлення з дробами”.

Аналіз вимог державного освітнього стандарту, навчальної програми з математики для початкових класів дозволяють зробити висновок про те, що при вивченні дробів вчитель повинен: 1) створити в учнів конкретні уявлення про процес утворення дробів; 2) сформувати у школярів уявлення про дроби; 3) навчити дітей розуміти такі терміни як дріб, чисельник, знаменник дробу; 4) сформувати в учнів уміння читати і записувати частини та дроби; 5) навчити школярів порівнювати частини та дроби; 6) навчити дітей знаходити частину і дріб числа та число за його частиною; 7) навчити учнів розв’язувати текстові задачі, пов’язані з дробами.

Чи знайомі діти з поняттям „частина”? – так, бо ще до школи у повсякденному житті вони зустрічалися зі словами „півкілограма”, „третя частина городу”, „чверть години” тощо. Крім цього, вони зустрічалися в процесі ігор з необхідністю проводити операцію ділення на рівні чи нерівні частини. Оскільки ці уявлення можуть бути неповними, неточними чи навіть неправильними, то завдання вчителя полягатиме в тому, щоб виявити ці уявлення, уточнити, систематизувати та узагальнити. Саме це робитиме вчитель на підготовчому етапі.

Теоретико-методичні основи навчання передбачають проведення підготовчої роботи до вивчення нового матеріалу. Саме тому вчитель повинен на підготовчому етапі виявити рівень володіння матеріалом, який буде необхідний для успішного засвоєння учнями нового. Таким чином, мета цього періоду полягає в актуалізації опорних знань, умінь і навичок, що надасть можливість усунути зайві труднощі. Тут же доведеться уточнювати або ж навіть і виправляти деякі уявлення дітей. Саме з цієї причини робота на підготовчому етапі повинна носити яскраво виражений особистісно-орієнтований характер. Цей етап розпочинається з перших уроків математики і продовжується до вивчення теми “Частини величини”.

Програмою з математики для початкових класів передбачається ознайомлення з такими питаннями: 1) утворення, позначення та порівняння частин; 2) знаходження частини числа; 3) знаходження числа за його частиною.

Як свідчать аналіз методичної літератури, вивчення досвіду роботи вчителів-новаторів можна рекомендувати такий план вивчення теми: 1) виявлення уявлень про дану частину; 2) утворення частин величини шляхом ділення на рівні частини предметів; 3) запис частин; 4) порівняння частин.

При роботі на першому і другому етапі дослідження науковців показують, що правильні уявлення про частини будуть сформовані лише тоді, коли учні своїми руками будуть одержувати половину, третину тощо. Із наявного у кожного учня роздаткового матеріалу вчитель пропонує вибрати два однакових круга і поділити один із них на дві рівнім частини. При цьому вчитель показує, як перегнути круг. Рівність частин корисно ілюструвати не після, а до його розрізання. Потім вчитель показує цілий круг і його половину і говорить: це один круг, а це половина круга. Інакше говорять: одна друга частинам круга. Скільки других частин в крузі? – дві, покажіть їх.

Візьміть квадрат. Як одержати одну другу частину або половину квадрата? – поділити його на дві рівні частини і взяти одну таку частину. Виконуйте. Далі учням пропонуємо такі запитання: як одержати одну другу частину круга? Як одержати одну другу частину квадрата? Як можна назвати одну другу частину круга, квадрата? Скільки половинок круга в цілому крузі? Учні повинні накласти половинки круга на круг. Для того, щоб учні добре усвідомили поняття „частина величини”, корисно на першому уроці розглянути поділ і на нерівні частини, встановивши при цьому відмінності в цих способах поділу. Аналогічно розглядаються і інші частини величини. Слід пам’ятати лише про те, що у багатьох дітей уявлення про “другу частину”, “третю частину”, “четверту частину” тощо являє собою останню, другу, третю, четверту частину, а решту частин вони називають перша, друга, третя. Саме тому учням слід пояснити, що при поділі квадрата на 5 рівних частин, кожна із п’яти частин, є п’ята частина. Якщо учні помітять зв’язок між числом рівних частин і назвою кожної частини, то вони легко будуть знаходити сьому, дев’яту тощо, частини.

На третьому етапі вивчення теми, учні ознайомляться із записом частин за допомогою двох чисел. Ознайомлення із записами виду 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 тощо проводиться на конкретних прикладах без введення термінів „чисельник”, „знаменник”. Вчитель пояснює, якщо круг поділено на 4 рівні частини і потрібно позначити одну четверту частину, то проводять риску і під нею пишуть число 4, щоб показати, що це четверта частина числа. Над рискою пишуть число 1, щоб показати, що це одна така частина. При цьому учні повинні розуміти, що означає кожне число в записі 1/3, як одержати 1/3? Аналіз системи вправ нині діючих підручників і методичних посібників для вчителів дозволяє зробити висновок про те, що для закріплення цих знань використовують такі вправи: 1) називання і запис частин; 2) зображення певних частин.

На четвертому етапі відбувається порівняння частин. Порівняння частин відбувається практично для однієї і тієї ж самої величини за допомогою наочних посібників. Так, наприклад, можна запропонувати учням накреслити 4 смужки довжиною 12 см і зафарбувати 1/2, 1/4, 1/8 їх частину. Діти переконуються, що найбільша 1/2, а найменша 1/8. Аналогічні вправи можна розглянути і з іншими предметами: кругами, квадратами тощо. У процесі закріплення корисно пропонувати учням запитання, які будуть готувати їх до вивчення дробів. Наприклад, розглядаючи малюнок можна запропонувати такі запитання: які частини прямокутника зафарбовані? Скільки таких частин зафарбовано? Скільки і які частини не зафарбовано? Скільки четвертих частин в цілому крузі? У половині круга? Формування уявлень учнів про частини не обмежується уроками з даної теми, а продовжується при вивченні інших питань шляхом систематичного розв’язування вказаних вправ на наступних уроках. Щоб одержати дані про сформованість уявлень учнів про частини, вчитель повинен час від часу пропонувати учням давати відповіді на наступні запитання: як одержати половину яблука, круга, смужки, прямокутника, квадрата?

Для того, щоб перевірити чи правильні уявлення формуються у школярів, вчитель пропонує розглянути дітям малюнки №№6 і 7 та пропонує відповісти на наступні запитання: яка фігура зображена на малюнку 6? – прямокутник. На скільки частин його поділено? – на дві. Які ці частини? – рівні. Як би Ви назвали їх? – половиною або однією другою частиною прямокутника. Аналогічні запитання ставимо перед учнями, розглядаючи малюнок № 7. Відмінність полягатиме лише в тому, що вчителеві слід наголосити, що частини не рівні, а тому їх не можна назвати другими частинами прямокутника. Відповідь учнів повинна бути приблизно такою: їх не можна назвати другими частинами прямокутника, бо вони не рівні.

Аналогічна робота проводиться і при утворенні інших частин із знаменниками (цей термін на цьому етапі навчання не використовується!) 3, 4, 5, 6, 7 тощо. Вчителеві слід неодмінно пам’ятати про можливість утворення неправильних уявлень. Так, для того, щоб в учнів не склалося враження про те, що третя, четверта, п’ята тощо частина є відповідно третьою, четвертою, п’ятою тощо за порядком розміщення, то слід видозмінювати розміщення таких частин як це показано на малюнку №8.

1/3 1/3 1/3

Для формування уміння учнів записувати частини спочатку використовується бесіда, а потім читання та запис частин з опорою на наочне підкріплення. Таке підкріплення слід використовувати відповідно до індивідуальних особливостей школярів доти, доки воно потрібне. Теоретико-методичні основи такої роботи вчителя проілюструємо з допомогою малюнка № 9. Вчитель пропонує дітям відповісти на наступні запитання: на скільки частин поділено смужки? – на чотири. Які ці частини? – однакові. Яку частину смужки зафарбовано? – одну четверту. Як це записати? - 1/4. Що означає у цьому записі число 4? – смужку поділено на чотири рівні частини. Що означає у цьому записі число 1? – що таких частин взято одну.

Формування уміння порівнювати частини відбувається лише з опорою на малюнки, подібні до малюнка № 10. Користуючись малюнком, проводимо наступну роботу: на скільки частин поділено першу смужку? – на 5. Які ці частини? – рівні. Як позначимо цю смужку? – 1/5. На скільки частин поділено другу смужку? – на чотири. Які ці смужки? – рівні. Як позначимо цю смужку? – 1/4. Яка із зафарбованих частин перших двох смужок більша? - 1/4. Запиши результати порівняння, використовуючи знаки <, >, = - 1/4>1/5. Яка із частин менша? – 1/5. Запиши результати порівняння, використовуючи знаки <, >, = - 1/5<1/4. Аналогічна робота проводиться з іншими смужками.

1/5

1/4

1/З

1/2

Теоретико-методичні основи вивчення дробів

Відповідно до програми з математики для І-ІУ класів формування уявлень учнів про дроби розпочинається у ІУ класі при вивченні теми “Дроби”. У процесі вивчення цієї теми вчитель повинен добитися того, щоб школярі усвідомили процес утворення дробів, навчилися читати та записувати дроби, запам’ятали терміни “чисельник”, “знаменник” і “риска дробу” та усвідомили їхню сутність, навчилися порівнювати дроби (найпростіші випадки), уміли знаходити дріб числа, успішно справлялися з розв’язуванням задач, які включають знаходження частини і дробу числа та знаходження числа за його частиною. Вивчення дробів ґрунтується на конкретних образах частин величини та практичному їх утворенні.

Щоб успішно справлятися з вивченні теми “Дроби”, можна виділити ті етапи: на першому з них проводиться підготовча робота до сприймання нового матеріалу, на другому – первинне усвідомлення поняття дробу, на третьому – формування уявлень про дріб і формування відповідних знань, умінь і навичок.

Ознайомлення з дробами відбувається за допомогою їх утворення з допомогою моделювання на наочних посібниках або при розгляді малюнків підручника. Першим кроком у формуванні початкових уявлень про дроби є нагромадження уявлень про поділ фігур на рівні частини. Поняття дробу вводиться у процесі бесіди вчителя, яка підкріплюється практичними роботами. Вчитель пропонує дітям намалювати смужку та поділити її на 4 рівні частини. Потім дає завдання зафарбувати 1/4 її частину. Після цього пропонує відповісти на наступні запитання: скільки частин залишилося не зафарбованими? – три. Яку частину складає не зафарбована частина смужки від усієї? – три четвертих частини. Як би Ви її назвали та записали? Якщо діти не справляться з цим завданням, то вчитель повідомляє: записати це можна так 3/4. Такий запис називається дробом. Число 3, яке стоїть над рискою дробу, називається чисельник, а число 4, що стоїть під рискою дробу, називається знаменник. Чи знаєте Ви, що показує знаменник дробу? – на скільки рівних частин поділено величину. А що ж показує чисельник дробу? – скільки таких рівних частин взято. Аналогічна робота проводиться з іншими геометричними фігурами. Після введення поняття дробу розпочинається систематична робота з формування уявлень школярів про дроби. З цією метою нині діючими підручниками та методичними посібниками для вчителів пропонується певна система вправ. Вона містить аналогічні вправи, що розглядалися в темі “Частини величин”.

Порівняння дробів

Для порівняння дробів використовується роздатковий матеріал (смужки, набір однакових геометричних фігур) та ілюстрації підручника чи таблиць, на яких зображено кілька однакових прямокутників, поділених на різну кількість однакових частин. Для формування вказаних умінь використовується така система вправ: 1) користуючись малюнком, постав замість квадратів такі числа, щоб рівності були правильними, наприклад: □/8=1/4; 2) користуючись малюнком, порівняй дроби: 5/8, 7/8, 1/4, 2/8, 2/4 і 2/8; 3) накресліть прямокутник довжиною 16см і шириною 1 см. Під ним накресліть такий же та поділіть його на дві рівні частини. Які частини одержали? Скільки других частин в цілому прямокутнику? Накресліть ще один і поділіть його на чотири рівних частини. Як називається кожна частина? Скільки таких частин? Скільки четвертих частин в половині? Що більше 1/4 чи 1/2? 1/2 чи 2/4? 1/4 чи 3/4? 2/2 чи 4/4? (див. таблицю №6.). Аналогічно проводиться порівняння інших дробів. 4) замість зірочок вставте пропущений знак >, < чи =: 3/8*5/8, 3/4*1; 5) підставте число у віконце так, щоб нерівність була правильною, наприклад: 3/8>□/4. Зауважимо, що для порівняння беруться дроби із знаменниками, кожний з яких можна одержати з іншого шляхом множення на якесь число чи ділення його на рівні частини.

1
½				½
¼		¼		¼		¼
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8