Основные сведения[править | править исходный текст]
Каждая булева функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длины n. Число таких векторов равно 2n. Поскольку на каждом векторе булева функция может принимать значение либо 0, либо 1, то количество всех n-арных булевых функций равно 2(2n). Поэтому в этом разделе рассматриваются только простейшие и важнейшие булевы функции. Практически все булевы функции малых арностей (0, 1, 2 и 3) сложились исторически и имеют конкретные имена. Если значение функции не зависит от одной из переменных (то есть строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называетсяфиктивной.
Таблицы истинности[править | править исходный текст]
Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например[4]:
x1 |
x2 |
… |
xn-1 |
xn |
f(x1,x2,…,xn) |
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
… |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
… |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
… |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
… |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
… |
1 |
1 |
0 |
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.
Под
«логической функцией» в данном случае
понимается функция, у которой значения
переменных (параметров функции) и
значение самой функции выражают
логическую истинность. Например, в
двузначной логике они могут принимать
значения «истина» либо «ложь»
(
либо 
, 
либо 
).
Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.
Аксиомы[править | править исходный текст]
, инволютивность
отрицания, закон
снятия двойного отрицания
Логические операции
Простейший и наиболее широко применяемый пример такой алгебраической системы строится с использованием множества B, состоящего всего из двух элементов:
B = { Ложь, Истина }
Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать[неопределённость], что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.
Опираясь
на этот математический инструментарий, логика
высказываний изучает высказывания и предикаты.
Также вводятся дополнительные операции,
такие как эквиваленция 
(«тогда
и только тогда, когда»), импликация 
(«следовательно»),
сложение по модулю два 
(«исключающее
или»), штрих
Шеффера 
, стрелка
Пирса 
и
другие.
Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).
Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.
Свойства логических операций[
Коммутативность: x
y
= y
x, 
{&, 
}.Идемпотентность: x x = x, {&, }.
Ассоциативность: (x y) z = x (y z), {&,
}.Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:
,
,
.
Законы де Мо́ргана:
,
.
Законы поглощения:
,
.
Другие (1):
.
.
.
., инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.
Другие (2):
.
.
.
.
Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):
.
.
Существуют методы упрощения логической функции: например, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класки
3.
4.
По конструктивно-технологическим признакам интегральные микросхемы разделяют на три группы: полупроводниковые, гибридные и прочие. По функциональным признакам интегральные микросхемы подразделяют на подгруппы и виды. Условное обозначение ИМС состоит из четырех элементов: Х ХХХ ХХ Х
Первый элемент - цифра, соответствующая классификации по конструктивно-технологическим признакам: полупроводниковые-1, 5, 7; гибридные - 2, 4, 6; прочие (пленочные, керамические, вакуумные) - 3.
Второй элемент - две (три) цифры, присвоенные данной серии ИМС как порядковый номер разработки серии. Таким образом, первые два элемента в виде набора трех (четырех) цифр составляют полный номер серии ИМС.
Третий элемент - две буквы, обозначающие подгруппу и вид ИМС - функциональное назначение ИМС .
Четвертый элемент - порядковый номер разработки конкретной ИМС в данной серии, в которой может быть несколько одинаковых по функциональным признакам ИМС. Первый и второй элементы вместе - серия ИМС.
Ниже приведен пример условного обозначения интегральной полупроводниковой логической ИМС И-НЕ/ИЛИ-НЕ с порядковым номером разработки серии 21, порядковым номером разработки данной схемы в серии по функциональному признаку 1: 121ЛБ1
121 - серия; 1-группа (по конструктивно-технологическому исполнению); 21- порядковый номер разработки данной серии; ЛБ - вид (по функциональному назначению); 1 - порядковый номер разработки микросхемы по функциональному признаку в данной серии.
В конце условного обозначения может добавляться буква от А до Я (кромеЗ,О,Ч), указывающая на разброс электрических параметров ИМС в пределах данного типономинала.
Для ИМС, используемых в устройствах широкого применения, в начале обозначения указывается буква К. Без К- " военнная приемка", с К - "ширпотреб". Например, интервал рабочих температур: -60-+125 и -10-+70; диапазон частот вибраций: 5-5000 Гц и 5-600 Гц; линейная нагрузка с ускорением: 150 g и 25 g.
Перед номером серии, может быть приведено условное обозначение корпуса, в котором изготовлена ИМС: Б - бескорпусной вариант ИМС; Р - обозначают соответственно пластмассовый тип 2; М - металлокерамический корпус тип 2; А - пластмассовый тип 4; Л - металлокерамический корпус тип 4; Н - керамический безвыводной тип 5.
Для бескорпусных ИС в условное обозначение через дефис вводится цифра, соответствующая конструктивному исполнению: с гибкими выводами - 1; с паучковыми, в том числе на полиимидной пленке - 2; с жесткими выводами - 3; неразделенные на пластине - 4; разделенные без потери ориентации (например, наклеенные на пленку) - 5; без выводов - 6. Например, КБ151НТ1-6.
При 4-х значном номере серии вторую цифру серии устанавливают в зависимости от функционального назначения ИМС, входящих в серию: 0 -для комплектации бытовой РЭА; 1 - аналоговым ИМС; 4 - операционным усилителям; 5 - цифровым ИМС4 6 - ИМС памяти; 8 - микропроцессорам.
Буква Э перед К обозначает экспортное исполнение (с шагом выводов корпуса 2,54 мм).
Функциональное назначение: А - формирователи. Б - схемы задержки (БМ - пассивные, БР - активные). В - схемы вычислительных средств: ВВ - управление вводом/выводом (интерфейс); ВГ - контроллеры; ВЕ - микроЭВМ; ВМ - микропроцессоры; ВФ - функциональные преобразователи (арифметические, тригонометрические, log); ВХ - микрокалькуляторы. Г - генераторы (ГС - гармонич.,ГГ - имп., ГФ -спец. формы, ГМ - шума). Д - детекторы (ДА - амплит; ДИ - имп; ДС - частотные, ДФ - фазовые). Е - схемы источников питания (ЕН -стаб.U; ЕТ - стаб. тока). И - схемы цифровых устройств (ИВ-шифраторы, ИД-дешифраторы, ИЕ-счетчики). К - коммутаторы и ключи (КН-напряжения, КТ-тока, КП-прочие). Л - логические схемы (ЛИ-"и"; ЛН-"не"; ЛЛ-"или"; ЛЕ-"или-не"; ЛА- "и-не" и т.д.). М - модуляторы (МА-амплит., МИ-импульсные, МС-частотные, МФ-фазовые, МП-прочие) Н - набор элементов (НД-диодов, НЕ-"С", НТ-транзисторов, НР-резисторов, НП-прочие). П - преобразователи (ПА-ЦАП; ПВ-АЦП; ПК-делители частоты; ПЕ-умножители частоты). Р - схемы ЗУ (РВ-ПЗУ, РМ-матрицы оперативных ЗУ; РФ-ПЗУ со УФ-стиранием и эл. зап.) С - схемы сравнения (СА-по напряжению-компараторы, СВ-по времени, СС-частотные). Т - триггеры (ТВ-типа JK, ТЛ-Шмитта, ТК-комбинированные, ТТ-счетные и т.д.) У - усилители (УД-операционные, УН-УНЧ, УВ-УВЧ, УР-УПЧ, УС-диффер., УТ-УПТ). Ф - фильтры (ФВ-верхних, ФН-нижних, ФЕ-полосовые, ФР-режекторные, ФП-прочие). Х - многофункциональные схемы (ХА-аналоговые, ХЛ-цифровые, ХК-комбинированные). Ц - фоточувствительные схемы с зарядовой связью (ЦЛ-линейные, ЦМ-матричные, ЦП-пр),
