Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

В объёме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объёмом dV с рёбрами dx, dy и dz, расположенными параллельно осям координат x, y и z.

Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением массы на ускорение свободного падения, то есть равна

g^.dm.

С ила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению гидравлического давления на площадь этой грани, p^.dA.

Будем считать, что p = f(x,y,z), то есть является функцией всех трёх координат. Нашей задачей и является выяснение закона распределения гидростатического давления по объёму жидкости.

Согласно основному принципу статики сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объём, находящийся в равновесии, равна 0. В противном случае происходило бы перемещение жидкости.

а) Рассмотрим сумму проекций на ось z.

1. Сила тяжести

.

Знак “-“ – при выбранном положительном направлении оси z (вверх), сила тяжести направлена вниз, то есть знак “-“.

2. Сила гидростатического давления

На нижней грани по нормали к ней и её проекция на ось z

p^.dxdy

- изменение гидравлического давления в данной точке в направлении оси z;

- изменение гидравлического давления в направлении оси z по всей длине ребра dz;

- гидростатическое давление на противоположной грани (верхняя грань);

- проекция силы гидростатического давления на ось z;

- проекция равнодействующей силы давления на ось z.

3. Сумма проекций сил на ось z.

.

Учитывая, что объём параллелепипеда dV≠0 (величина, заведомо не равная нулю), получим

.

б) Сумма проекций сил на ось x.

(проекции сил тяжести на оси x и y равны 0). После раскрытия скобок и сокращения

или

.

в) Сумма проекций на ось y.

Соответственно

.

Таким образом, условия равновесия элементарного параллелепипеда выражаются системой уравнений, которые получили название дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

.

Для получения закона распределения давления во всём объёме покоящейся жидкости следует проинтегрировать эту систему уравнений. Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.

Основное уравнение гидростатики

Из уравнений Эйлера следует:

а) давление в покоящейся жидкости остаётся одинаковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменение давлений вдоль осей x и y равно 0

;

б) давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z);

в) в связи с тем, что в системе уравнений Эйлера частные производные и равны 0, частная производная может быть заменена на ∆ и, следовательно,

.

Из последнего уравнения, преобразуя его, получим

.

Разделив на ρ^.g и переменив знаки

.

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна и, следовательно,

Откуда после интегрирования получим

.

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 уравнение выражают в форме

- основное уравнение гидростатики, где z₁ и z₂ – высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчёта (плоскостью сравнения); p₁ и p₁ – гидростатические давления в этих точках.