18. Поверхностные интегралы 1 рода. Определение, основные свойства

Поверхностным интегралом I рода от функции по поверх ности называют двойной интеграл

Определение. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi  ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Поверхностный интеграл обладает всеми обычными свойствами интеграла, включая теорему о среднем значении.

Теорема. Пусть функция и её частные производные и непрерывны в замкнутой области , а - график этой функции. Тогда

. 19. Поверхностный интеграл II-рода. Определение и свойства.

Определение: Если независимо от способа дробления поверхности S на N частей   и независимо от способа выбора точек   существует и конечен предел суммы   при 

то такой предел называется поверхностным интегралом второго рода по выбранной стороне и обозначают:

Отметим одно важное свойство поверхностных интегралов второго рода:

Из самого определения поверхностного интеграла второго рода следует, что поверхностный интеграл по    равен

21. КРИТЕРИЙ КОШИ Теорема.

Если ряд   сходится, то  .

22. ПОЛОЖ РЯДЫ Если  , то ряд   называют положительным.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда   и   − такие, что   для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если   сходится, то   также сходится;

 Если   расходится, то   также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда   и  , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если  , то оба ряда   и   либо сходятся, либо расходятся;

• Если  , то ряд   сходится, если сходится ряд  ;

• Если  , то ряд   расходится, если расходится ряд  .

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

3

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл  , и расходится, если  . 

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл  , и расходится, если  . 

26.ВОПРОС Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков. a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + a₅ - ...     (36)

ризнак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.  Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n;  2.  .

Тогда знакочередующиеся ряды   и   сходятся. Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

29-31_Вопрос 29-30 29  Степенным рядом называется функциональный ряд вида постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел. если степенной ряд сходится при  , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  ; если же ряд расходится при  , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  . теорема

Если степенной ряд a₀+ a₁x+ a₂x(\²⁾+…+ a_nx(\ⁿ⁾+…          (*) сходится в точке x0<>0 , то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|) , т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|

Если степенной ряд a₀+ a₁x+ a₂x(\²⁾+…+ a_nx(\ⁿ⁾+…  (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|

Следствие 1. Если степенной ряд расходится или сходится не абсо-

лютно при x = x0 , то он расходится при всяком x, для которого |x| > |x0|.

1. Степенной ряд (3) может сходится только в одной точке x = 0 вопрос 31 2.Степенной ряд (3) может сходится при любом значении x , т.е. на всей

вещественной прямой.

3.  Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.

• ВОПРОС 32 Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если   есть аналитическая функция в любой точке  , то её ряд Тейлора в любой точке   области определения   сходится к   в некоторой окрестности  .