Формальная запись системы с управлением

Основная особенность управляемых систем – в системе существуют свободные функции, которыми может распорядиться субъект (устройство, исследователь, лицо, принимающее решение) в своих интересах.

Модели систем без управления описывают динамические процессы (с помощью, например, дифференциальных уравнений), которые не содержат свободных параметров или функций. Модели такого рода могут быть и стохастическими – содержать случайные величины и функции: Z = f (z, t, ξ), где ξ – некоторый случайный вектор с известным законом распределения. В этом случае исследуются не отдельные траектории, а их статистические свойства, например, средние значения.

Модели систем с управлением разрабатываются для оптимизации некоторых действий (модели исследования операций, модели систем автоматического регулирования), анализа конфликтных ситуаций (кибернетические модели).

Рассмотрим систему с управлением, которая описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями ˙z = f (z, u, t, ξ).

Здесь z – n-мерный фазовый вектор, ξ – к-мерный (к ≤ n) вектор возмущений (внешних воздействий), который может быть случайным (тогда он задается своим статистическим описанием) либо неопределенным (характеризует недостаточность наших знаний об изучаемом явлении). На изменения управлений, фазовые координаты, возмущения обычно накладываются ограничения: u ∈G_и, z ∈G_z ξ ∈G_ξ или (t, z, u, ξ) ∈G t, z, и, ξ , где G_и , G_z , G_ξ – некоторые множества произвольного вида.

Вектор-функция u(t) размерности т ≤ n называется управлением или управляющим вектором, которая может быть функцией времени (u = u(t)), фазового вектора (u = u(z)), возмущения (u = u(ξ)) или иметь более общий вид (u = u(t, z, ξ)). Это свободная вектор-функция, находящаяся в распоряжении субъекта, принимающего решение об управлении. Предполагается, что к моменту принятия решения об управлении величины фазовых переменных и возмущений известны. Рассмотренная система называется управляемой системой.

По аналогии с фазовым пространством состояний введем пространство управлений U с т числом измерений, равному числу независимых управляющих воздействий.

В формальную запись модели включим управление.

Рассмотрим управляемый процесс (правило перехода) S^u. Пусть это правило позволяет выбором управления u из некоторой фиксированной совокупности U достигать значения параметра состояния у_G, которое, в свою очередь, обеспечивает получение управляемых выходных воздействий f в виде f_G, соответствующем выполнению цели G.

В отличие от неуправляемой модели, в кортежную запись управляемой модели вводятся составляющие:

- u - указывает на те величины (объекты), которыми мы можем распоряжаться для выполнения цели G;

- f_G - сама цель G, записанная в виде требований на выходы модели.

Кортежная запись управляемой модели имеет вид:

∑ ^u : {x, у, p, t, u, f_G, z, α, β, β ^*},

x ∈X, у ∈У, p ∈P, t ∈T, z ∈Z, u ∈U.

Управления могут быть выделены из следующих составляющих неуправляемой системы:

- входов х - часть из них может стать управляемыми, выбираемыми, контролируемыми (например, возможность выбора части сил, действующих на систему, посылки управляющих сигналов, допущение альтернативных решений);

- параметров системы р – особенно типично для процесса проектирования - это дает возможность создавать систему с нужными свойствами (размеры, масса, материал), в том числе в качестве управляемых могут быть выбраны параметры структуры, что дает возможность изменять структуру с целью достижения заданного свойства системы.