7 Математические модели распределения ресурсов в исследовании операций
7.1 Моделирование операций распределения ресурсов
При выборе концепции системы возникают задачи оптимального распределении имеющихся ресурсов системы – задачи выбора решений (способа действий) при целенаправленном функционировании системы. Это может быть организация взаимодействия элементов, определение оптимальных режимов функционирования системы в различных условиях внешней среды.
Такие задачи возникают при организации производства и снабжения, эксплуатации транспортных систем, параметров конструкции, выбора средств производства, вооружения, в здравоохранении, бытовом обслуживании, связи, при боевых действиях и т.д.
Любое целенаправленное действие называется операцией. В общем случае – это совокупность взаимосвязанных действий всех компонентов системы, направленных на решение поставленной задачи.
Модель операции (операционная модель - формализованное описание факторов и связей между ними, отражающих ход операции) представляет собой совокупность, состоящую из субъекта, формирующего цель операции (оперирующей стороны), запаса активных средств (ресурсов) для проведения операции, набора стратегий, т.е. способов использования этих ресурсов, и критерия для сравнения различных стратегий достижения цели операции.
Модель операции разрабатывается на основе схемы операции, представленной в виде ряда последовательных этапов и элементарных действий компонентов для решения поставленной задачи (выполнения цели системы).
Степень соответствия результата операции поставленной ей цели (задаче) характеризуется критерием эффективности, который может зависеть от всех факторов, входящих в модель операции, в том числе, и неопределенных.
И управления, и неопределенные факторы могут быть функциями различной природы и сложности в зависимости от конкретных условий проведения операции, информированности оперирующей стороны.
Основная задача исследования операций – принятие решения о наилучшем способе достижения цели - выбор программы действий (способов использования ресурсов на выполнение операции) – решается методами математического программирования.
Основные разделы теории исследования операций: математическое программирование (линейное и нелинейное, детерминированное и стохастическое), теория принятия решений и теория игр, теория управления запасами, теория массового обслуживания, имитационное моделирование. Выбор метода решения диктуют тип и сложность исследуемой математической модели.
Общая модель операции выработки решения состоит из взаимосвязанных моделей: модели процесса операции (включая модель управляемой системы и модель обстановки проведения операции) и модели принятия решения. При этом учитываются физические и критериальные ограничения.
Физические ограничения ни при каких обстоятельствах не могут быть нарушены, поскольку они выражают законы сохранения.
Пример физических ограничений. Обозначим через qi норму полива – количество воды, которое мы должны направить на орошение единицы земельной площади xi. Тогда
где Q - общее количество воды, которое накоплено в водохранилище.
Кроме того, суммарная площадь земли, которую можно использовать под посевы, также должна быть фиксирована, т.е. величины xi должны удовлетворять еще одному ограничению:
где Х – суммарная земельная площадь.
Критериальные ограничения определяются требованиями к конструкции и не являются такими жесткими – они находятся в распоряжении субъекта и в принципе могут быть нарушены или изменены.
Например, распределяя землю под посевы, необходимо добиться урожая максимальной стоимости, но при заданной структуре конечного продукта, или при проектировании самолета, кроме достижения его максимальной экономичности, могут быть ограничения на его крейсерскую скорость (не меньше заданной).
Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.
Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.
Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). В этом и состоит специфика задач математического программирования: множество условий задается не системой уравнений, а системой неравенств, чаще всего экстремум достигается на границах множества условий, где нарушается принцип дифференцируемости, в практических задачах число переменных столь велико, что приводит к необходимости применения аналитических методов или эффективных вычислительных способов получения приближенного решения.
Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием.
Классификация задач математического программирования.
В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса: задачи линейного и нелинейного программирования.
Линейное программирование – целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. В линейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создать специальные эффективные методы их решения (например, транспортные задачи). Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования.
Нелинейное программирование – нелинейны целевая функция и ограничения. Здесь выделяют: выпуклое программирование (выпукла целевая функция и множество, на котором решается экстремальная задача), квадратичное программирование (целевая функция квадратична, а ограничения – линейные равенства и неравенства).
В математическом программировании могут быть выделены два направления – решение детерминированных (вся исходная информация определена) и стохастических задач (параметры носят случайный характер с известными вероятностными характеристиками).