V. Конкуренция двух популяций

Рассматривается ситуация конкуренции двух популяций численностью N и M, проживающих в одной местности и имеющих схожий рацион питания. Известны предельные численности популяций N_max и M_max, которых они бы могли достичь при отсутствии конкуренции, примем N_max <= M_max.

Функция прироста с учетом конкуренции

f_N(N,M) = k_NN(N_max – N) – k_NMM,

f_M(N,M) = k_MN(M_max – M) – k_MNN,

где k_N, k_M, k_NM, k_MN – положительные коэффициенты пропорциональности, учитывающие особенности каждой популяции и их взаимовлияние.

Математическая постановка задачи.

Найти решение задачи Коши

dN / dt = k_NN(N_max – N) – k_NMNM

dM / dt = k_MM(M_max – M) – k_MNNM

при начальных условиях N (0) = N₀, M (0) = M₀.

Как и для случая равновесной численности одной популяции, введем относительные численности популяций Р_N = N / N_max , Р_M = M / N_max – приведем математическую постановку задачи к безразмерному виду:

dР_N / dt = r_N(1 - Р_N - µ_NР_M) Р_N,

dР_M / dt = r_M(Р_M^*– Р_M - µ_MР_N) Р_M (5)

при начальных условиях Р_N (0) = Р_{N 0}, Р_M (0) = Р_{M 0}.

Здесь r_N = k_N N_max, r_M = k_M N_max, µ_N = k_NM/k_N, µ_M = k_NM/k_M, причем Р_M^*= M_max / N_max >=1.

Проведем качественный анализ.

Найдем точки равновесия для системы уравнений, приравняв правые части нулю:

r_N(1 - Р_N - µ_NР_M) Р_N = 0,

r_M(Р_M^*– Р_M - µ_MР_N) Р_M = 0.

Имеем 4-е точки равновесия:

Р_N¹ = Р_M² = 0, Р_N² = 0, Р_M² = Р_M^*, Р_N³ = 1, Р_M³ = 1, Р_N⁴ = (1 - µ_N Р_M^*) / (1 - µ_Nµ_M), Р_M⁴ = (Р_M^* - µ_M) / (1 - µ_Nµ_M).

Исходя из ограничений на численность (невымирание популяций) Р_N⁴ > 0 и Р_M⁴ > 0

Получаем ограничения на µ_N и µ_M:

µ_Nµ_M < 1, 0 < µ_N < 1/Р_M^*, 0 < µ_M < Р_M^*

и µ_Nµ_M > 1, µ_N > 1/Р_M^*, µ_M > Р_M^*.

Дальнейший анализ показал, что совместное существование популяций возможно при выполнении первой группы условий.

VI. Изменение зарплаты и занятости

Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные рабочие, характеризуется зарплатой р (t) и числом занятых N (t). Пусть на нем существует равновесие, т.е. ситуация, когда за плату р₀ > 0 согласны работать N₀ > 0 человек. Если по каким-то причинам это равновесие нарушается (часть работников увольняется), то функции р (t) и N (t) отклоняются от значений р₀, N₀.

Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда

dp/dt = - a₁ (N - N₀), a₁ > 0. (6)

Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается также пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения р₀, т.е.

d N /dt = - a₂ (р - р₀), a₂ > 0.

Дифференцируя первое уравнение по t и исключая из него с помощью второго уравнения величину N, приходим к стандартной модели колебаний

d² (р - р₀) / dt² = - a₁a₂ (р - р₀)

заработной платы относительно положения равновесия (аналогично и для величины N (t)). Следовательно (как и в предыдущем случае), в системе происходят малые колебания изменений зарплаты с частотой , зависящей только от коэффициентов отклонения от равновесного значения величины зарплаты и количества работников.

Из первого интеграла этого уравнения

a₁ (N – N₀)² + a₂ (p – p₀)² = const > 0

видно, что в некоторые моменты времени t = t_i, i = 1, 2 . . . , когда р = р₀ (т.е. зарплата становится равной равновесному значению), имеем N >N₀, т.е. число занятых больше равновесного, а при N = N₀ получаем р > р₀, т.е. зарплата превышает равновесную. В эти моменты фонд зарплаты, равный рN, превышает равновесное значение р₀N₀ (или меньше его), если при подходе к моменту t_i выполнено р > р₀ или N >N₀ (и наоборот). Но в среднем за период величина рN равна р₀N₀.