Детерминированные и неопределенные модели

Закономерности, описывающие процессы и явления объективного мира, можно условно разделить на две группы: однозначно определенные (детерминированные) и находящиеся в условиях неопределенности.

В зависимости от способа задания параметров, исходной информации, начальных условий и способа нахождения характеристик системы, математические модели можно подразделить на два больших класса: детерминированные и неопределенные (вероятностные, стохастические).

В детерминированных моделях все исходные данные, ограничения и целевая функция (т.е. некоторое соотношение, количественно характеризующее поставленную перед системой цель) задаются в виде конкретных чисел, векторов или числовых функций.

В детерминированных моделях используются различные классические методы математики: дифференциальные, линейные, разностные и интегральные уравнения, операторы для сведения к алгебраическим моделям и др. При совместном рассмотрении этих соотношений состояния системы в заданный момент времени однозначно определяются через параметры системы, входную информацию и начальные условия.

По степени математической абстракции детерминированные модели можно разделить на сложные и упрощенные.

Сложные модели описывают все причинные связи какой-то реальной системы и позволяют точно прогнозировать поведение системы в зависимости от изменения переменных (или параметров).

Упрощенные модели описывают только существенные зависимости (идеализированные модели).

Между этими двумя моделями существует ряд моделей, отличающихся степенью детализации. На практике чаще всего применяются упрощенные модели с разной степенью детализации. При этом считается, что имеются существенные и несущественные факторы: существенные учитываются, несущественные отбрасываются. Между принятыми в модели факторами и результирующими показателями устанавливается жесткая детерминированная связь. Широкое распространение идеализированных моделей вызвано их простотой и возможностью логического обоснования.

Детерминированные системы – системы, процессы в которых взаимосвязаны так, можно проследить цепь причин и следствий.

К детерминированным относятся те закономерности, которые по заданным с определенной точностью характеристикам входных воздействий позволяют установить вполне определенный (детерминированный) отклик (реакцию) выходных воздействий исследуемого объекта.

В статическом режиме детерминированные системы описываются алгебраическими уравнениями, в динамическом режиме – дифференциальными уравнениями.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Приведенные выше физические модели — детерминированные. Если в модели S(p) = g(p)t2/2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр — порыв ветра с силой р при падении тела, например, так: S = gt2/2, 0 < t < 100, то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

При решении одних задач случайные составляющие практически не влияют на результат и в модели не учитываются. В других задачах решение может быть получено только при учете случайных составляющих или различных неопределенностей, и соответствующие математические методы закладываются в модель.

Достаточность детерминированной модели или необходимость учета неопределенностей иногда очевидна, иногда переход к модели, учитывающей неопределенность, происходит вследствие неудовлетворенности результатами, полученными на детерминированной модели.

Неопределенность понимается в том смысле, что соответствующие характеристики системы находятся в условиях приближения и неполноты информации. В «чистом виде» неопределенных процессов нет - описание неопределенности может быть разным в зависимости от количества и качества имеющейся информации (имеется не вся необходимая информация, элементы могут быть описаны по аналогам, что не всегда соответствует целям исследований). Характеристики системы зависят от большого количества различных факторов (некоторые из них могут быть вообще неизвестны), выбор для моделирования существенных факторов, влияющие на систему, может иметь неоднозначный характер (как объективный, так и субъективный).

В зависимости от типа неопределенности – методы описания неопределенных данных, включая вероятностную, нечеткую и интервальную модели, - каждая из них имеет свои методы анализа и область применения.

Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций нечетких множеств.

Стохастическое описание используется тогда, когда неопределенные параметры носят вероятностный (случайный) характер. При этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров.

В стохастической системе состояние и выход – случайные величины, операторы перехода и выхода не определяют конкретные значения состояния и выхода, как в детерминированном случае, а лишь устанавливают вероятности их реализации.

Статистическое описание является частным случаем стохастического – заданы только выборочные оценки каких-либо характеристик случайной величины или наборы некоторых случайных параметров.

Нечеткая модель основана на понятии нечеткого множества (нечеткая переменная и ее функция принадлежности, задающая степень принадлежности конкретного значения величины х некоторому множеству s).

При описании с позиций нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, определяющих степень принадлежности объекту (например, при выделении элементов из внешней среды). Нечеткое множество описывает систему с нечеткими, размытыми границами. Обычно функция принадлежности задается экспертным путем на основе информации об источниках неопределенности переменной х.

Интервальная модель – неопределенность параметра х описывается его возможными значениями в виде [x] = [x_min; x_max]. Внутри интервала не задается никакой вероятностной меры – все значения внутр интервала предполагаются равновозможными (не путать с равновероятными).

Любому реальному процессу присущи случайные флюктуации (отклонения от средних значений). Однако выбор детерминированной или вероятностной математической модели зависит от того, учитываются ли случайные факторы. Выделение детерминированных моделей в отдельный класс объясняется широким их применением и разнообразием математических методов решения детерминированных задач.

Если хотя бы один параметр модели или ограничительная функция имеет в качестве своих значений случайный вектор или случайную величину, то это случайная (стохастическая) модель. В этом случае под однозначностью определения характеристик моделируемого процесса понимается однозначное определение распределений вероятностей для характеристик процесса при заданных распределениях вероятностей для начальных условий и возмущений.

Стохастический характер модели связан с наличием в объекте и среде различных неконтролируемых, но существенных факторов, которые можно моделировать статистически. Состояние системы в этом случае Y=F(X, U, E(t)), где E(t) – случайный процесс, моделирующий имеющуюся неопределенность объекта и среды. Эта неопределенность может быть связана как с быстрым изменением параметров объекта, так и с помехами, накладывающимися на измеряемые значения сигналов на входе и выходе объекта.

Стохастический объект и его модель ведут себя неоднозначно в одинаковых ситуациях, что моделируется случайным вектором E(t), статистические свойства которого должны быть заданы. В простейшем случае Y=F(X, U)+E(t).

Примером стохастического объекта является любой биологический организм, который в одинаковых условиях ведет себя по-разному. В этом случае Y описывает поведение объекта, которое строго зависит от внешних условий, а все отклонения от этого регулярного поведения образуют «случайную помеху» E(i).

Переход от детерминированной модели к стохастической осуществляется таким образом, чтобы она отражала в себе случайный характер данных и самой модели. Способ перехода выбирается в зависимости от сведений об изучаемой модели: уверенности в правильности и надежности данных и модели. При этом возможно, что эти сведения ошибочны.

В общем случае для стохастических объектов оператор является случайным (например коэффициенты линейного дифференциального уравнения, весовые функции и т.д.).

В зависимости от учета в модели случайностей при работе и управлении объектом моделирования непрерывности или дискретности процесса рассматривают дискретно-детерминированные, дискретно-детерминированные, непрервно-детерминированные, дискретно-стохастические, непрерывно-стохастические модели.