Формулирование задач синтеза телекоммуникационных систем

Это второй по порядку подход в рамках статистической теории различения сигналов. Задача синтеза:

Пусть на вход приёмного устройства поступает совокупность, состоящая из полезного сигнала и помех следующего вида:

Z(t)={Z'q(t)} q=1,2,...,Q

Путём измерения Z'(t), за время соответствующее длительности сигнала, необходимо определить вид преобразования и условия регистрации n-го переданного сигнала или символа (Cr), чтобы потери из-за принятия ошибочных решений, согласно тому или иному критерию оптимальности были минимально возможными. В таком виде задача регистрации в устройстве r-ного сигнала или символа, является по-существу задачей различия его в присутсвии мешающего сигнала. Но, тогда, правила принятия решения о приёме r-ного сигнала может быть описана следующим соотношением Лrl(Z'1,...,Z'n)>Л0, r<>l, r1l принадлежит{1,2,...,m}

Первая половина формулы до неравенства — отношение правдоподобия для r-ного сигнала, относительно l-ного, завизащее как от статистических характеристик шума (кси от t) и параметров

theta={thetaq}, q=1,2,...,Q=(thetaq^(j)), j=1,...,l; q=1,...,Q;

thetaп={thetaпq}, q=1,2,...,Q=(thetaпq^(s)) s,l,q — аналогично предыдущим.

и от свойств в частотно-временной области полезных принимаемых сигналов и помех.

Л0 — пороговый уровень, определяемый выбранным критерием оптимальности.

{Z'k=Z'(tk)} — выборка из процесса Z'(t) на интервале t. Установлено, что для систем передачи дискретной информации естественным является использование критерия Котельникова (Идеальный наблюдатель). При этом, оптимальная решающая схема обеспечивает наименьшую полную вероятность ошибочного приёма элемента сообщения, а следовательно, и максимальную точность его приёма в среднем по всем сообщениям. Кроме того, полная вероятность ошибки поэлементного приёма в оптимальной решающей схеме, основанной на критерии Котельникова, зависит только от характера помех в канале связи и определяет потенциальную помехоустойчивость. Выявление же потенциальной помехоустойчивости систем передачи дискретной информации в каналах с флуктуационными и сосредоточенными помехами, само по себе представляет очень важную задачу, поскольку позволяет определить в указанных условиях потенциальные возможности повышения помехоустойчивости существующих и перспективных систем. Для существующих и перспективных систем, для критерия Котельникова пороговый уровень в двух предыдущих выражениях есть некоторая постоянная величина, определяемая по минимуму полной вероятности ошибки и равная Л0=p'(Cr)/p(Cr), r<>l, где делимое и делитель — априорные вероятности передаваемых символов. Известно, что в любой рационально построенной системе передачи дискретной информации, символы кодовых последовательностей приблизительно равновероятны. Поэтому при использовании критерия Котельникова, полагают следующее: p(Cr)=P(Cl)=1/m, r,l принадлежат {1...m}, отсюда пороговый уровень в наших соотношениях будет выглядеть следующим образом: Ло=1, lnЛо=0. Нужно отметить, что при исползьовании таких пороговых уровней, критерий Котельникова совпадает с критерием максимального правдоподобия, который не требует знания априорных вероятностей передаваемых сигналов. Отношения правдоподобия могут быть представлены в следующей обобщённой форме:

Лrl= огромнейшая запутанная формула с эпохальным числителем и эпичным знаменателем.

Theta' принадлежит theta; Thetaп' принадлежит thetaп

Theta'' принадлежит theta; Thetaп'' принадлежит thetaп

W(Z'1,...,Z'n/theta,thetaп,{Zrq}) - Условная плотность вероятности выборки Z'1,...,Z'n из совокупности реализаций сигналов, принимаемых по всем ветвям разнесения при передаче r-ного сигнала, зависящая от множества theta и thetaп, и … в предположении постоянства любого theta'q^(j), принадлежащего theta и theta'qп^(s), принадлежащего thetaп.

Плотность вероятности может быть найдена из W(кси1,...,ксип)... если каждое выборочное значение флуктуационного шума выразить с помощью выражения Z'q(t)=Zrg(t,thetaq)+Zпqi(t,thetaпsi)+загогулинаq(t) … формулы, формулы, формулы...

То есть W(Z'...Z'п)/theta,thetaп,{Zrq})=W(кси1,...,ксиn)=W|{загогулинаqk}|,

При том, что загогулинаqk=Z'q(tk)-Zrq(tk,thetaq)-Zпq(tk,thetaпq)

Далее W(theta',theta'п) — совместная плотность вероятности случайных параметров theta

G(theta',theta'п) — область интегрирования, определяемая пределами изменения параметров theta' и theta'п.

К остальным параметрам, законы распределения которых неизвестны, должны быть использованы максимально правдоподобные их оценки на интервале t, и эти оценки могут быть получены из общего решения системы уравнений

dlnW(Z1'',...,Z'п/theta,thetaп, {Zrq})/dtheta''=0

dlnW(Z1',...,Z'п/theta,thetaп, {Zrq})/dtheta''п=0

Для статистического синтеза значительно удобнее использовать не дискретные выборки, а непрервыно наблюдаемые на интервале t реализации принимаемого сигнала. Поэтому, всё это выполняется, когда выполним предельный переход от m → бесконечности.