5. Интегрирование простейших тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.

∫R(sinx,cosx)dx=∫R(t)dt. Универсальная подстановка: tgx/2=t, x=2arctgt, dx=2dt/ 1+t², тогда sinx=2t/t²+1, cosx=(1-t²)/(1+t²). Пр. ∫dx/sinx=...=ln /tgx/2/+C. Др. подстановки: 1).Если интеграл имеет вид ∫R(sinx)cosx dx, то подстановка sinx=t, cosx dx =dt приводит этот интеграл к виду ∫R(t)dt. 2) Если интеграл имеет вид ∫R(cosx)sinx dx, то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой cosx=t, sinx dx=-dt. 3)Если подынтегральная функция зависит только от tgx, то замена tgx=t,x=arctgt,dx=dt/1+t² приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции: ∫R(tgx)dx= ∫R(t)dt/1+t². 4) Если подынтегральная функция имеет вид R(sinx,cosx), но sinx и cosx входят только в четных степенях, то применяется та же подстановка: tgx=t, sin²x=t²/1+t², cos²x=1/1+t², dx=dt/1+t². После подстановки мы получим интеграл от рац. функции.

6. Интегрирование выражений вида r(sinm xcosn X) m и n – целые.

Рассмотрим интеграл вида ∫R(sinx,cosx) dx- именно интеграл, под знаком которого стоит произведение sin^m xcosⁿ x dx ( где m и n – целые числа). Здесь рассм. 3 случая: 1)∫sin^m xcosⁿ x dx, где m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Допустим для определенности, что n – нечетное. Положим n=2p+1 и преобразуем интеграл: ∫sin^mxcos^2p+1x dx= ∫sin^mxcos^2px cosx dx=∫sin^m x(1-sin²x)^pcosx dx=[sinx=t, cosx dx=dt.Подставляя получим: ∫sin^mxcosⁿx dx=∫t^m(1-t²)^p dt. 2) ∫sin^mxcosⁿx dx, где m и n – числа неотрицательные и четные, положим m= 2p, n=2q, тогда ∫sin^2pxcos^2qx dx=∫(1/2-1/2cos2x)^p(1/2+1/2cos2x)^q dx=...=до членов вида ∫coskxdx. 3).Если оба показателя четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели. Здесь следует сделать замену tgx=t (ctgx=t).

7. Интегрирование произведений функций sin kx*sin ux, sin kx*cos ux, cos kx*cos ux

Интегралы вида ∫cosmxcosnx dx, ∫sinmxcosnx dx и ∫sinmxsinnx dx. Они берутся при помощи следующих формул: cosmxcosnx= 1/2[cos(m+n)x+cos(m-n)x]; sinmxcosnx=1/2[sin(m+n)x+sin(m-n)x]; sinmxsinnx=1/2[-cos(m+n)x+cos(m-n)x]

∫cosmxcosnx dx=1/2∫[cos(m+n)x+cos(m-n)x]dx=sin(m+n)x /2(m+n) + sin(m-n)x/ 2(m-n) + C; аналогично вычисляем: ∫sinmxcosnx dx и ∫sinmxsinnx dx. 8. Определенный интеграл и его свойства.

Если при любых разбиениях отрезка [a,b] таких, что max∆x_i→0, и при любом выборе точек ξ_i на отрезках [x_i-1,x_i] интегральная сумма: S_n=Σⁿ_i=1 f( ξ_i)∆x_i стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел наз опред интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают ∫^b_af (x)dx. Число a – нижний предел, b – верхний предел интеграла. Отрезок [a,b] отрезком интегрирования, х — перемннной интегрирования. Св-ва:1).пост множитель можно выносить за знак опр интеграла: если A = const, то ∫^b_a Af (x)dx= A∫^b_a f (x)dx.2)опред интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫^b_a [f ₁ (x)+f₂(x)] dx= ∫^b_a f ₁ (x) dx+ ∫^b_a f₂(x) dx. 3) если на отрезке [a,b], где a<b, функция f(x) и φ(x) удовл условию f(x) <= φ(x), то ∫^b_a f (x) dx<=∫^b_a φ(x) dx.4) если m и M- наим и наиб значения функции f(x) на отрезке [a,b] и a<=b, то m(b-a)<=∫^b_a f (x) dx<=M(b-a). 5)Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка ξ_i , что справедливо следующее равенство: ∫^b_a f (x) dx=(b-a)f(ξ). 6.Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство:∫^b_a f (x) dx=∫^с_a f (x) dx=∫^b_с f (x) dx, если только все эти три интеграла существуют.