- •1. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Основная таблица.
- •2. Интегрирование заменой и по частям.
- •3. Разложение рациональной дроби на простейшие и их интегрирование.
- •4. Интегрирование простейших степенных и квадратных иррациональностей.
- •5. Интегрирование простейших тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.
- •6. Интегрирование выражений вида r(sinm xcosn X) m и n – целые.
- •7. Интегрирование произведений функций sin kx*sin ux, sin kx*cos ux, cos kx*cos ux
- •9. Производная интеграла по переменному верхнему пределу.
- •10. Формула Ньютона — Лейбница, примеры.
- •11. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле, примеры.
- •12. Вычисление площадей фигур, длин дуг.
- •13. Объем тела по площади поперечных сечений. Объем и поверхность тела вращения.
- •14. Вычисление координат центра тяжести кривой и криволинейной трапеции.
- •Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур
1. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Основная таблица.
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Оснавная таблица. Функция F(x) наз. первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F'(x)=f(x). Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx. ∫f(x)dx= F(x)+C, если ,F'(x)=f(x). f(x)-подынтегральной функцией, f(x)dx-подынтегральным выражением, знак ∫- знаком интеграла.
Cв-ва:
1.линейность. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx; неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов: ∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx;
2.Связь н.и. и производных. Производная от н. и. равна подынтегральной функции: (∫f(x)dx)x'=f(x); (F(x)+C)'=f'(x)=f(x); дифференциал от н. и. равна подынтыгральному выражению:d(∫f(x)dx)=f(x)dx; н.и от дифференциала нек функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: ∫dФ(x)=Ф(x)+C.
3.Инвариантность формулы интегрирования(неизменность): ∫f(x)dx=F(x)+C, u=γ(x), γ'(x); ∫f(u)du=F(u)+C; F(u)=F[u(x)]; dF(u)=F'(u)du=f(u)du; ∫f(u)du=∫dF(u)= F(u)+C.
2. Интегрирование заменой и по частям.
Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле: ∫f(x)dx=[x= γ(t) монотонна и непрерывна tЄ[t1,t2]; dx= γ'(t)dt; t=α(x)]=∫f[ γ(t)]γ'(t)dt. Пр.∫xex2dx=[x2=t,2xdx=dt, xdx=dt/2]=∫etdt/2=et/2+C=..
Интегрирование по частям: u=u(x), v=v(x), xЄ[a,b]. ∫udv=uv-∫udu. Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции. Пр.∫xsinxdx=[x=u, du=dx, sinxdx=dv, v=-cosx]=x(-cosx)- ∫(-cosx)dx=-xcosx+sinx+C.
3. Разложение рациональной дроби на простейшие и их интегрирование.
Любую правильную дробь R(x)= Pm(x)/Qm(x), где m<n может быть разложена в сумму рациональных дробей. П. р. д. вида: I. A/x-a, II. A/(x-a)k (k-целое полож. число >=2), III. Ax+B/x2+px+q(p2/4-q<0), IV. Ax+B/(x2+px+q)k
I.∫ A/x-a dx=A∫ d(x-a)/x-a= Aln/x-a/+C; II. ∫ A/(x-a)k dx= A∫ (x-a)-kdx=A(x-a)-k+1/(-k+1) +C...
4. Интегрирование простейших степенных и квадратных иррациональностей.
Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от всех корней в подынтегральной функции.
I. Рассмотрим интеграл вида: ∫ R(x,xm/n, …,xr/s)dx, где R – рациональная функция своих аргументов). Пусть k – общий знаменатель дробей m/n, … , r/s. Сделаем подстановку: x=tk, dx=ktk-1dt. Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t. Пр. ∫ dx/x1/2+x1/3=[x=t6,dx=6t5dt]=∫ 6t5dt/(t3+t2)=2x1/2-3x1/3+6x1/6-6ln/x1/6-1/ +C. II.Рассмотрим интеграл вида: ∫ R(x,((ax+b)/(cx+d))m/n, …,((ax+b)/(cx+d))r/s)dx. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки: (ax+b)/(cx+d)=tk, где k-общий знаменатель дробей m/n, …, r/s. Пр. ∫ (x+4)1/2/x dx=[x+4=t2,x=t2-4, dx=2tdt]=2∫ t2/(t2-4) dt= 2∫ dt+8∫ dt/t2-4=2t+2ln/(t-2)/(t+2) + C=...